المشتق الثاني — من تشريح الصيغةيقيس المشتق الثاني كيفية تغير معدل تغير كمية ما نفسه. إذا كان المشتق الأول لدالة يخبرك بميلها أو سرعتها، فإن المشتق الثاني يخبرك بميل الميل — أي تسارع الكمية. في الفيزياء، يظهر في كل مكان: قانون نيوتن الثاني يربط القوة بالمشتق الثاني للموضع (التسارع)، ومعادلة الموجة تربط بين المشتقات الثانية المكانية والزمانية معًا.
ظهر هذا المفهوم مع تطور حساب التفاضل والتكامل في أواخر القرن السابع عشر، بشكل أساسي من خلال أعمال إسحاق نيوتن وغوتفريد فيلهلم لايبنتز، اللذين صاغا المشتقات من أي رتبة.
بالنسبة لدالة f(x)، يعطي المشتق الأول f'(x) معدل التغير اللحظي. أما المشتق الثاني f''(x) فهو مشتقة f'(x)، ويُحسب بتطبيق نفس عملية النهاية مرة أخرى. هندسيًا، يشير إلى التقعر: القيمة الموجبة تعني أن الدالة تنحني لأعلى، والسالبة لأسفل، والصفر يمثل نقطة انعطاف. في الحركة، إذا كان x(t) هو الموضع، فإن x''(t) هو التسارع — أي مدى سرعة تغير السرعة.
يُستخدم في الهندسة لتحليل الاهتزازات (المشتق الثاني للإزاحة يعطي التسارع)، وفي الاقتصاد للعوائد الحدية، وفي الفيزياء لاشتقاق معادلات الحركة وانتشار الموجات.
المشتق الثاني للخط المستقيم يساوي دائمًا صفرًا، ولهذا تبدو الحركة بسرعة ثابتة سلسة — دون تسارع.
| f''(x) | متغير | Second derivative of function f at x — المشتقة الثانية per metre squared |
| f(x+h) | متغير | Function value at x+h — قيمة دالة |
| f(x-h) | متغير | Function value at x-h — قيمة دالة |
| f(x) | متغير | Function value at x — قيمة دالة |
| h | متغير | Step size — spacing metre |
| \approx | مؤثر | Approximately equal to — تقريب |
| \psi | متغير | wave function — الدالة الموجية |
| x | متغير | position coordinate — موضع metre |
| k | متغير | wave number — عدد الموجة per metre |
| V(x) | متغير | potential function — الطاقة الكامنة (Potential Energy) joule |
| \frac{d^2}{dx^2} | مؤثر | second derivative with respect to position — المشتقة الثانية |
| ψ | متغير | wave function — الدالة الموجية |
| x | متغير | position coordinate — موضع metre |
| V(x) | متغير | potential energy function — الطاقة الكامنة (Potential Energy) joule |
| E | متغير | energy eigenvalue — طاقة joule |
| d²/dx² | مؤثر | second derivative with respect to position — المشتقة الثانية |
| V | متغير | effective potential — الطاقة الكامنة (Potential Energy) joule |
| f | متغير | function whose curvature defines the potential |
| x | متغير | independent variable — موضع metre |
| d²/dx² | مؤثر | second derivative with respect to x — المشتقة الثانية |
| z | متغير | scale factor or redshift depending on context — عامل مقياس |
| ν | متغير | Hankel index — hankel index |
| τ | متغير | conformal time — conformal time second |
| '' | مؤثر | second derivative with respect to the independent variable (here, conformal time) — المشتقة الثانية |




