رياضيات

المشتقة الثانية

المشتق الثاني — من تشريح الصيغة
10 مقالات ذات صلة · 5 صيغ

الوصف

يقيس المشتق الثاني كيفية تغير معدل تغير كمية ما نفسه. إذا كان المشتق الأول لدالة يخبرك بميلها أو سرعتها، فإن المشتق الثاني يخبرك بميل الميل — أي تسارع الكمية. في الفيزياء، يظهر في كل مكان: قانون نيوتن الثاني يربط القوة بالمشتق الثاني للموضع (التسارع)، ومعادلة الموجة تربط بين المشتقات الثانية المكانية والزمانية معًا.

التاريخ

ظهر هذا المفهوم مع تطور حساب التفاضل والتكامل في أواخر القرن السابع عشر، بشكل أساسي من خلال أعمال إسحاق نيوتن وغوتفريد فيلهلم لايبنتز، اللذين صاغا المشتقات من أي رتبة.

كيف يعمل

بالنسبة لدالة f(x)، يعطي المشتق الأول f'(x) معدل التغير اللحظي. أما المشتق الثاني f''(x) فهو مشتقة f'(x)، ويُحسب بتطبيق نفس عملية النهاية مرة أخرى. هندسيًا، يشير إلى التقعر: القيمة الموجبة تعني أن الدالة تنحني لأعلى، والسالبة لأسفل، والصفر يمثل نقطة انعطاف. في الحركة، إذا كان x(t) هو الموضع، فإن x''(t) هو التسارع — أي مدى سرعة تغير السرعة.

في التطبيق

يُستخدم في الهندسة لتحليل الاهتزازات (المشتق الثاني للإزاحة يعطي التسارع)، وفي الاقتصاد للعوائد الحدية، وفي الفيزياء لاشتقاق معادلات الحركة وانتشار الموجات.

حقيقة طريفة

المشتق الثاني للخط المستقيم يساوي دائمًا صفرًا، ولهذا تبدو الحركة بسرعة ثابتة سلسة — دون تسارع.

Concept graph →

صيغ

$$f''(x) \approx \frac{f(x+h) + f(x-h) - 2f(x)}{h^2}$$
Approximates the second derivative using central differences.
ما في الصيغة
f''(x)متغيرSecond derivative of function f at x — المشتقة الثانية per metre squared
f(x+h)متغيرFunction value at x+h — قيمة دالة
f(x-h)متغيرFunction value at x-h — قيمة دالة
f(x)متغيرFunction value at x — قيمة دالة
hمتغيرStep size — spacing metre
\approxمؤثرApproximately equal to — تقريب
$$\frac{d^2\psi}{dx^2} + \left(k^2 - V(x)\right) \psi = 0$$
Wave equation with potential barrier in quantum mechanics.
ما في الصيغة
\psiمتغيرwave function — الدالة الموجية
xمتغيرposition coordinate — موضع metre
kمتغيرwave number — عدد الموجة per metre
V(x)متغيرpotential function — الطاقة الكامنة (Potential Energy) joule
\frac{d^2}{dx^2}مؤثرsecond derivative with respect to position — المشتقة الثانية
$$-\frac{d^2 \psi}{dx^2} + V(x) \psi = E \psi$$
A wave function's evolution in a potential is governed by the Schrödinger equation.
ما في الصيغة
ψمتغيرwave function — الدالة الموجية
xمتغيرposition coordinate — موضع metre
V(x)متغيرpotential energy function — الطاقة الكامنة (Potential Energy) joule
Eمتغيرenergy eigenvalue — طاقة joule
d²/dx²مؤثرsecond derivative with respect to position — المشتقة الثانية
$$V = \frac{1}{\sqrt{f}} \frac{d^2 \sqrt{f}}{dx^2}$$
An effective potential is defined from a function's second derivative.
ما في الصيغة
Vمتغيرeffective potential — الطاقة الكامنة (Potential Energy) joule
fمتغيرfunction whose curvature defines the potential
xمتغيرindependent variable — موضع metre
d²/dx²مؤثرsecond derivative with respect to x — المشتقة الثانية
$$ rac{z''}{z} rac{ u^2 - 1/4}{ au^2}$$
Approximates background evolution using Hankel index in cosmology.
ما في الصيغة
zمتغيرscale factor or redshift depending on context — عامل مقياس
νمتغيرHankel index — hankel index
τمتغيرconformal time — conformal time second
''مؤثرsecond derivative with respect to the independent variable (here, conformal time) — المشتقة الثانية

مقالات ذات صلة · 10

شقوق غير مرئية في الجاذبية: اختبار تناظر لورنتز
في عام 2017، رصدت كاشفات الموجات الثقالية LIGO وVirgo موجة ثقالية — تذبذبًا في نسيج الزمكان نفسه ناتجًا عن اصطدام نجمين نيوترونيين — بقايا فائقة الكثافة لنجوم ضخمة. وبعد 1.7 ثانية، رصدت التلسكوبات المدارية وميض انفجار أشعة غاما — انبعاثًا قويًا للإشعاع الكهرومغناطيسي من نفس النقطة في السماء.
الكون يسخن على الدوامات
يشبه الكون المبكر نابضًا مشدودًا بإحكام. في اللحظات الأولى، كان يتوسع بسرعة لا يمكن تصورها — وتسمى هذه المرحلة بالتضخم. يُعتقد عادةً أن مجالًا خاصًا هو الذي تسبب فيه، لكن هناك فكرة أخرى: الزمكان نفسه يلتف مثل النابض، وهذا الالتواء (في الفيزياء — الالتواء) يصبح محرك التوسع. عندما ينتهي التضخم، يجب أن تتحول طاقة الالتواء إلى جسيمات عادية — هكذا يسخن الكون.
رقصة المد والجزر للنجوم النيوترونية
عندما يدور نجمان نيوترونيان حول بعضهما البعض، لا يظل جسماهما كرويين صلبين. جاذبية الشريك تمدد كل نجم، مما يخلق حدبتي مد وجزر — تمامًا كما يرفع القمر مياه محيطات الأرض. لكن على عكس الماء، هنا تتشوه مادة فائقة الكثافة: ملعقة صغيرة من هذه المادة تزن مليارات الأطنان.
الثقب الأسود ينمو، والإنتروبيا تراقب النظام
يشبه الثقب الأسود مكنسة كهربائية مثالية: كل ما يعبر أفقه يختفي دون أثر. لكن لهذه المكنسة سمة غريبة — «كيس الغبار» الخاص بها يكبر، ومن حجم الكيس يمكن معرفة مقدار ما دخل إليه. في فيزياء الثقوب السوداء، يرتبط هذا الحجم بالإنتروبيا الإنتروبيا — مقياس المعلومات الخفية حول ما سقط في الداخل.
مطرٌ يعدّ القطرات
تسقط قطرة المطر في بركة ماء، فيتطاير نافورة صغيرة من الرذاذ عند الاصطدام. كل واحدة من هذه الرذاذات هي قطرة جديدة ثانوية. كم عددها، وما حجمها، وكم تعيش؟ يعتمد ذلك على عوامل كثيرة: سرعة السقوط، وحجم القطرة، وخصائص الماء. قرّر العلماء أن يفكّكوا هذه الفوضى باستخدام المحاكاة الحاسوبية. أعادوا بناء سقوط قطرة واحدة وقطرتين من المطر في الماء.
جدار المجال المغناطيسي: حركة عكسية تحت تأثير التيار
في معظم المواد المغناطيسية، يتحرك جدار المجال المغناطيسي — وهو الحد الفاصل بين المناطق ذات المغنطة المختلفة — تحت تأثير التيار في اتجاه واحد يحدده اتجاه التيار. لكن في المغناطيسية الحديدية المضادة بالقرب من نقطة خاصة حيث يعوض الزخم الزاوي للشبكتين الفرعيتين بعضهما البعض، يتغير السلوك.
الجاذبية تُغيّر إشعاع الذرة
الذرة التي يثيرها الضوء تعيد الطاقة بعد لحظة، فتبعث فوتونًا. تشبه هذه العملية عدّاءً متعبًا يتخلص من حمولة. لكن إذا كان العدّاء يقف على منحدر جبلي، يصعب عليه الانطلاق. الجاذبية تؤثر على الذرة بطريقة مشابهة: فبالقرب من جسم ضخم، يمر الزمن أبطأ، وتُصدر الذرة إشعاعًا مختلفًا. بنى الفيزيائيون نموذجًا تتفاعل فيه الذرة مع مجال يملأ الفضاء، وأخذوا في الحسبان مجال جاذبية ضعيف.
الاضطراب: لماذا ليس قياس الطاقة بالأمر الهيّن
عندما تخفق المياه خلف قارب، تتحول طاقة الحركة إلى حرارة عبر سلسلة من الدوامات. قياس سرعة هذه العملية مباشرة أمر صعب: يتطلب مراقبة جميع الدوامات في آن واحد. لذلك يستخدم العلماء تبسيطًا — ينظرون فقط إلى مركبة واحدة من السرعة في نقطة واحدة. تربط الصيغة الكلاسيكية مربع هذه المركبة بمعدل تبديد الطاقة الكلي. اتضح أن هذا التبسيط لا يعمل دائمًا.
كيف يغيّر الاحتكاك بالقاع الدوامات في المياه الضحلة
الماء في بركة بعد المطر يدور بشكل مختلف عنه في البحيرة العميقة. الطبقة الرقيقة من السائل تشعر بالقاع، وهذا يغير طبيعة الدوامات. أنشأ العلماء مثل هذه الطبقة في المختبر: سكبوا إلكتروليتًا، ومرروا تيارًا كهربائيًا ومجالًا مغناطيسيًا، فتحركت السائل. ثم باستخدام كاميرات وجسيمات دقيقة، تتبعوا الحركة حتى أصغر الدوامات، التي يبلغ حجمها جزءًا من المليمتر.
الجاذبية في مواجهة التراكب الكمومي: لماذا لا يكون العالم مشوشًا
في العالم الكمومي، يمكن للجسم أن يتواجد في عدة أماكن في آنٍ واحد. لكن في حياتنا اليومية، نرى الأشياء في أماكنها المحددة. السبب هو الجاذبية. النجم الضخم ينهار حتمًا تحت ثقله إلى ثقب أسود أو نجم نيوتروني، لكن لا يمكن أن يكون كلاهما معًا.