Cómo hacer amigos a una cascada y a una ola exprés
El burbujeo de una olla, una ráfaga de viento, el humo que sube de una fogata: todo obedece a ecuaciones que los matemáticos llaman «no lineales y disipativas». En pocas palabras, en ellas la energía se pierde por fricción y las partes del flujo se influyen tanto entre sí que predecir el movimiento con antelación es una tarea al límite de lo posible. Estas ecuaciones, las ecuaciones compresibles de Navier-Stokes, describen casi cualquier medio fluido, desde el agua hasta el gas interestelar. Pero tienen una peculiaridad: no se parecen en nada a las ondas puras y reversibles que gobiernan la mecánica cuántica.
Los autores del trabajo encontraron la manera de vestir estas ecuaciones con un traje nuevo. Introdujeron unas cantidades especiales, algo así como «amplitudes de probabilidad» para la densidad y la velocidad del flujo, pero con una diferencia importante: aquí el tiempo no transcurre como en la verdadera ecuación de Schrödinger, sino como en un problema de propagación de calor (a ese tiempo se le llama imaginario). En términos simples: en lugar de describir el flujo directamente como un conjunto de vórtices y compresiones, lo reescribieron en un lenguaje donde cada trozo de fluido se comporta como una onda amortiguada en un campo complejo que se crea a sí mismo. Esto no es una aproximación: la transformación es exacta, como traducir un poema a otro idioma sin perder el sentido.
La idea clave es dividir la velocidad del flujo en dos partes: una responsable de la compresión y expansión (como los fuelles de un herrero) y otra del giro (como un remolino en un río). Tras una sustitución logarítmica, ambas partes se convierten en un par de ecuaciones de tipo Schrödinger acopladas entre sí. En el caso bidimensional todo resulta especialmente elegante: la densidad y la amplitud de «compresión» se unen en una sola variable que obedece a una ecuación con un potencial vectorial, algo parecido a un campo magnético que actúa sobre una partícula cuántica. La validez del enfoque se probó en un problema clásico: la inestabilidad de Kelvin-Helmholtz, cuando dos capas de fluido se deslizan una sobre otra y generan hermosos remolinos. El experimento numérico mostró una coincidencia total con la simulación directa de las ecuaciones de Navier-Stokes.
Esta forma de ver el flujo de un fluido no es solo un juguete matemático. Expone estructuras de operadores que podrían servir para crear modelos simplificados de flujos. Y lo más importante: las ecuaciones en una forma cercana a las cuánticas se pueden resolver en las computadoras cuánticas del futuro, donde la evolución de operadores ocurre de manera natural. Esa misma cascada, descrita en el lenguaje de las ondas, algún día se calculará en segundos.
Las ecuaciones de Navier-Stokes son tan difíciles que demostrar la suavidad de sus soluciones en tres dimensiones tiene un premio de un millón de dólares: es uno de los problemas del milenio.
En la novela «El problema de los tres cuerpos» de Liu Cixin, los extraterrestres despliegan protones en computadoras multidimensionales: reformular los flujos en forma cuántica hace que algo así sea un poco menos fantástico.