En una cadena montañosa hay senderos que se pueden contraer a un punto si se camina por un valle llano. Y hay rutas circulares que no se pueden encoger sin cruzar una cresta. Los físicos que estudian las fases cuánticas han descubierto que su diagrama de fases está organizado de la misma manera: contiene caminos cerrados que no pueden contraerse a un punto sin atravesar una región donde la brecha de energía desaparece.

Estos caminos se denominan bucles no contráctiles. Muestran que entre dos fases no se puede transitar suavemente sin encontrarse con un punto crítico. Antes, estos bucles se estudiaban por separado: cuando la simetría se conserva o cuando está completamente rota. Pero en los sistemas reales las simetrías interactúan, y una puede estar rota mientras la otra no.

Los autores utilizaron el método de dualidad, que conecta los diagramas de fases de dos sistemas, como un espejo intercambia izquierda y derecha. Por ejemplo, la dualidad de Kramers-Wannier intercambia paredes de dominio y cargas. Esto permitió trasladar la clasificación de bucles de un lado al otro y construir evoluciones unitarias explícitas que generan bucles no contráctiles.

Los resultados resultaron inesperados. Para sistemas con simetría anómala Z₂×Z₂, los bucles se clasifican mediante el grupo Z₄, porque la pared de dominio de una simetría porta la mitad de la carga de la otra. Para los grupos diédricos D₂ₙ, la clasificación depende de la paridad de n: si n es impar, es D₂ₙ; si es par, es D₈ o Z₂×Z₂. Para simetrías no reversibles, la clasificación de bucles depende de si el punto base es trivial, lo que contrasta con las fases ordinarias.

Estos resultados proporcionan una herramienta para buscar puntos sin brecha inevitables en sistemas cuánticos. Si en el diagrama de fases hay un bucle no contráctil, entonces en algún lugar de ese bucle debe haber un punto donde la brecha se cierra. Es como saber que en una ruta circular seguramente se encontrará un puerto de montaña, aunque no se vea desde el inicio del camino. El trabajo profundiza la comprensión de la estructura topológica de los diagramas de fases y abre el camino hacia la clasificación de fases con simetrías exóticas.