Poincaré recurrence theorem asserts that certain systems will return arbitrarily close to their initial state after a sufficiently long time.Una baraja de cartas es un sistema mecánico con un número finito de estados. Barajar cambia el orden, pero el número total de configuraciones es fijo. Tarde o temprano cualquier secuencia se repetirá, y la baraja volverá a su forma inicial. En 1890, Henri Poincaré extendió esta idea a sistemas físicos. Demostró que en un sistema conservativo cerrado, donde la energía está limitada y el espacio de fases (una sala multidimensional imaginaria, donde cada punto representa todas las coordenadas y velocidades de las partículas) tiene un volumen finito, la trayectoria tarde o temprano se acerca arbitrariamente al punto de partida. El tiempo de tal retorno es enormemente grande: para un mol de gas en una caja de zapatos, es del orden de 10 elevado a 10²³ segundos. Este número es imposible de escribir en el Universo visible. El teorema de Poincaré resolvió la paradoja: cómo leyes reversibles de Newton pueden conducir a un crecimiento irreversible de la entropía. La respuesta está en las escalas de tiempo.
Henri Poincaré demostró el teorema en 1890 en el tratado «Sobre el problema de los tres cuerpos y las ecuaciones de la dinámica». En ese momento participaba en el concurso del rey Óscar II de Suecia y Noruega para resolver el problema de la estabilidad del Sistema Solar. Al estudiar el problema restringido de los tres cuerpos, Poincaré se encontró con el comportamiento caótico de las trayectorias y la necesidad de describir su destino a largo plazo. Logró mostrar que la trayectoria de fase de un sistema acotado tarde o temprano regresa cerca del punto inicial. Más tarde se supo que consideraciones similares ya habían sido planteadas por James Clerk Maxwell, al reflexionar sobre la dinámica molecular, y por Lars Onsager en el contexto de la mecánica estadística. En el siglo XX el teorema adquirió importancia fundamental para comprender la relación entre la dinámica microscópica reversible y la termodinámica irreversible. Los trabajos de Ilya Prigogine sobre procesos irreversibles también se apoyan en el concepto de recurrencia.
El teorema encuentra aplicaciones en mecánica estadística, teoría ergódica y teoría de sistemas dinámicos. En la práctica, establece el límite de aplicabilidad de la segunda ley de la termodinámica: la entropía de un sistema aislado puede aumentar en intervalos cortos comparados con el tiempo de Poincaré, pero eventualmente debe regresar a valores bajos. En astrofísica se consideran procesos recurrentes para órbitas caóticas de cuerpos celestes, aunque las escalas de tiempo los hacen inobservables. En informática cuántica, la memoria del estado inicial en un sistema cerrado nunca desaparece por completo, lo que se utiliza en protocolos de corrección de errores.
El teorema explica por qué en una habitación aislada el olor de un perfume no desaparece sin dejar rastro, sino que solo se dispersa — y puede volver a concentrarse espontáneamente en el frasco, aunque habría que esperar un tiempo inimaginablemente largo. En la práctica, esto limita la aplicabilidad de la segunda ley de la termodinámica para sistemas cerrados.
Ernst Zermelo intentó refutar a Boltzmann usando este teorema: si todo retorna, la entropía no puede crecer eternamente. Boltzmann respondió: 'Habrá que esperar tanto tiempo que para cuando ocurra el retorno, cualquier ser vivo habrá renacido un número infinito de veces'.