Jetez une poignée de sable sur le sol : les gros grains sont rares, les petits sont nombreux, et les minuscules encore plus. Ce déséquilibre, où les petits événements sont fréquents et les grands rares, est décrit par une loi de puissance. On la retrouve dans la taille des villes, la force des séismes, le nombre de citations d'articles scientifiques.
Pour comprendre d'où vient cette loi, des physiciens ont pris le modèle le plus simple : des billes solides qui se heurtent et échangent de l'énergie. À l'équilibre, leurs vitesses suivent une autre loi, la courbe en cloche de Maxwell-Boltzmann. Mais si les billes viennent tout juste de commencer à accélérer, ou si l'on injecte constamment de nouvelles particules rapides dans le système, le tableau change : les énergies s'alignent selon une loi de puissance.
La condition clé est l'absence d'échelle caractéristique. À l'équilibre, le système possède une énergie typique autour de laquelle tout se regroupe. Loin de l'équilibre, ce point n'existe pas : les énergies peuvent être quelconques, ce qui engendre l'autosimilarité — une petite portion du graphique ressemble à tout le graphique. C'est cette autosimilarité que l'on observe dans un littoral découpé ou un arbre ramifié.
L'ouverture est également importante. Si l'on ajoute constamment des particules avec des énergies différentes, le système n'a pas le temps d'atteindre l'équilibre et reste dans un état intermédiaire, où la loi de puissance opère. L'exposant ne dépend que de la rapidité avec laquelle les particules sont ajoutées, et non des détails de leurs collisions. C'est pourquoi tant de systèmes différents, de la poussière aux galaxies, obéissent à la même loi.
La loi de puissance décrit la fréquence des mots dans une langue : le deuxième mot le plus fréquent apparaît environ deux fois moins souvent que le premier, le troisième trois fois moins, et ainsi de suite. C'est la loi de Zipf, découverte à partir d'« Ulysse » de Joyce.