Une goutte de miel s'étale lentement sur la table, l'eau rapidement. La résistance à l'écoulement — la viscosité — varie selon les liquides. Mais que se passe-t-il si la viscosité change en plein vol, au fur et à mesure que la matière se comprime ou se dilate ? C'est exactement le comportement de nombreux gaz, et les équations qui décrivent leur mouvement — les équations de Navier-Stokes — deviennent presque insupportablement complexes.
Les auteurs de l'étude ont considéré le cas où la viscosité dépend de la densité du gaz selon une loi de puissance : plus le gaz est dense, plus il est visqueux (l'exposant est supérieur à 1/2 mais inférieur à 1). Ils ont examiné une boule de gaz qui, à l'infini, disparaît tout simplement — la densité tombe à zéro. Ce « vide lointain » est courant pour les atmosphères des planètes ou les nuages de gaz interstellaire. Mais pour un mathématicien, c'est un cauchemar : les équations dégénèrent et on ne sait même pas si elles ont une solution.
Il s'avère que même avec de très grandes perturbations initiales — par exemple, lorsque la boule de gaz est brusquement comprimée — la solution reste régulière et existe pour un temps arbitrairement long. Cela fonctionne à la fois dans le plan et dans l'espace tridimensionnel. L'astuce principale a été de contourner trois pièges à la fois : la dégénérescence au vide, la singularité au centre de la boule (où les coordonnées s'effondrent en quelque sorte) et la viscosité non linéaire. L'outil mathématique inventé pour cela convient aussi au cas où la densité ne tombe jamais à zéro — c'est-à-dire pour un gaz dans un récipient fermé.
tel que rédigé par les auteurs, en anglais arXiv:2605.17121
For the physically important case in which the viscosity coefficients depend on the density $$\rho$$ through a power law (i.e., $$\rho^\delta$$ with some exponent $$\delta \in (\frac{1}{2},1)$$), we establish the global well-posedness of regular solutions of the compressible Navier-Stokes equations for barotropic flow with large initial data of spherical symmetry in two and three spatial dimensions. The initial density considered here is positive everywhere but vanishes in the far field, ensuring that the resulting solutions satisfy the conservation laws of total mass and momentum. The most crucial step in our analysis is to obtain a uniform upper bound for the density, which is challenging due to the combined difficulties of degeneracy near the far-field vacuum, coordinate singularity at the origin, and nonlinearity of viscosity coefficients. Furthermore, the methodology developed here can also be applied to the corresponding problem in which the density remains strictly away from the vacuum.
Les équations de Navier-Stokes sont si difficiles que la preuve de l'existence et de la régularité de leurs solutions en trois dimensions est récompensée par un prix d'un million de dollars — c'est l'un des sept problèmes du millénaire.
Dans le roman de Stanislas Lem « Solaris », l'océan de la planète se comporte comme un liquide à viscosité variable, obéissant à des équations inconnues.