Analyse des EDP math.AP

L'océan Pacifique, large de dix mille kilomètres, respire : l'eau chaude se déplace vers l'est, l'eau froide recule, et cette inspiration-expiration se répète toutes les quelques années. Un modèle qui décrit cette respiration demande des semaines de calcul même sur un supercalculateur.

Une fine plaque se dresse en travers d'un écoulement d'eau ou d'air. Derrière elle naît un sillage – une zone où le courant se brouille et se mélange. En général, un tel sillage devient turbulent lorsque la vitesse de l'écoulement est suffisamment grande, et le nombre de Reynolds en est la mesure.

Une épidémie ressemble à un feu de forêt : le feu court là où il y a plus de branches sèches. De la même manière, un virus se propage plus vite là où les gens vivent entassés. Mais les anciens modèles mathématiques décrivaient l'infection comme une tache d'encre qui s'étale uniformément sur le papier.

Le système lymphatique est comme un réseau de canaux urbains où l'eau circule lentement, emportant les déchets des tissus. Mais il n'a pas de cœur-pompe unique. À la place, de petites stations-écluses sont réparties le long des vaisseaux : les lymphangions. Chaque écluse se contracte toute seule, comme un poing, et pousse le liquide plus loin.

La cellule est une ville avec des portes. Chaque porte est un canal protéique dans la membrane : à travers lui entrent et sortent des ions, des sucres, des molécules de signalisation. Certaines portes sont presque toujours ouvertes, d'autres s'ouvrent et se ferment de manière aléatoire, comme les portes du métro qui laissent passer un passager puis se referment devant son nez.

L'eau qui tourbillonne dans un entonnoir finit par perdre sa surface lisse : apparaissent alors de l'écume et des éclaboussures. Les mathématiciens décrivent ces écoulements par des équations, mais celles-ci cachent un mystère — parfois la solution « explose », devient infinie, et personne ne sait pourquoi.

Chaque coquillage est un journal de croissance en pierre. Le mollusque ne le construit pas selon un plan, comme un architecte, mais ajoute simplement du matériau le long du bord, en suivant toujours la même règle. C'est comme si un escargot collait chaque jour une nouvelle bande à sa maison, en la décalant légèrement et en augmentant sa taille.

Une foule sur une place de ville se comporte différemment selon que les gens se tiennent par la main ou non. Si chacun ne fait qu'effleurer le coude de son voisin, les gens se dispersent facilement dans toutes les directions — la foule s'étend comme un tapis uniforme.

Un funambule avance sur un câble tendu. Chaque pas est une recherche d'équilibre, un calcul instantané des forces. C'est à peu près ainsi que les équations d'Einstein décrivent comment la matière et l'énergie courbent l'espace-temps.

Une goutte de miel s'étale lentement sur la table, l'eau rapidement. La résistance à l'écoulement — la viscosité — varie selon les liquides. Mais que se passe-t-il si la viscosité change en plein vol, au fur et à mesure que la matière se comprime ou se dilate ?

Un drap tendu se plisse. Si l'on tire sur un coin, une onde régulière se propage ; si l'on comprime brusquement le tissu, un pli net apparaît. C'est à peu près ainsi que se comportent l'espace et le temps dans les équations d'Einstein.

Au centre de nombreuses galaxies se cachent des trous noirs géants en rotation. Les astrophysiciens soupçonnaient depuis longtemps que ces objets sont étonnamment résistants : après avoir avalé une étoile ou fusionné avec un autre trou noir, ils se calment rapidement et oublient la catastrophe.

Le nombre −0.000459 n'est pas un invité surprise dans l'équation de Blasius. C'est le coefficient de η⁵, qui détermine la couche limite sur une plaque plane — le murmure subtil du frottement de l'air sur le métal. Les méthodes numériques classiques comme Runge-Kutta ne donnent qu'une courbe approximative.

Une pierre tombe dans un étang. Les cercles se propagent, s'affaiblissent et disparaissent bientôt. Mais si l'étang était infini et l'eau parfaite, l'agitation durerait éternellement, en s'estompant progressivement. En physique, ces restes qui s'atténuent sont appelés « traînes » : ils vivent longtemps après que l'onde principale est passée.

Deux réservoirs d'encre se tiennent de part et d'autre de la jonction cellulaire. De là, deux types de monomères s'écoulent sur la membrane et, lorsqu'ils se rencontrent, forment des gouttes visqueuses de complexes. Les gouttes bougent à peine, tandis que les monomères libres filent rapidement, comme des molécules de parfum dans une pièce.

En 1934, Jean Leray a prouvé que les équations de Navier–Stokes ont toujours des solutions « au sens généralisé ». Si la solution reste lisse ou peut se briser en une singularité, il ne l'a pas su, et personne ne l'a su pendant quatre-vingt-dix ans. En 2000, l'Institut Clay a fait de la question l'un de ses sept problèmes du Millénaire.