Stokes' theorem relates the integral of a differential form over a manifold to the integral of its exterior derivative over the boundary.Formulé au milieu du XIXe siècle par George Stokes pour l'hydrodynamique, la célèbre formule est rapidement devenue un outil universel de la physique. Forme classique : la circulation d'un vecteur le long d'un contour fermé est égale au flux de son rotationnel à travers toute surface appuyée sur le contour : ∮_C F·dr = ∬_S (∇×F)·dS. La version généralisée — le grand théorème de Stokes — énonce : l'intégrale d'une forme différentielle sur le bord d'une variété est égale à l'intégrale de sa dérivée extérieure sur toute la variété. Cette formule réunit élégamment les cas particuliers : le théorème de Green dans le plan, le théorème de Gauss-Ostrogradski dans l'espace et le théorème de Kelvin-Stokes lui-même.
Le théorème doit son nom à George Stokes, mais sa première formulation est apparue dans la correspondance avec William Thomson (1850). Stokes l'utilisa comme question d'examen pour le prestigieux Smith’s Prize à Cambridge. La forme vectorielle a été donnée par Oliver Heaviside et Josiah Gibbs dans les années 1880. La forme la plus générale a été donnée par Élie Cartan au début du XXe siècle via les formes différentielles ; elle a été généralisée encore plus par Georges de Rham dans la théorie de la cohomologie.
Il est utilisé en électrodynamique (loi de Faraday sous forme intégrale, théorème de la circulation du champ magnétique), en aérodynamique (théorème de Joukovski sur la portance), en théorie de la gravitation (lois de conservation en relativité générale). Limites : la variété doit être lisse et orientable ; en présence de singularités (par exemple, des tourbillons filiformes), des conditions aux limites supplémentaires sont nécessaires. En mécanique quantique, l'intégrale de chemin de Feynman est un analogue, où les effets topologiques (phase de Berry) sont étroitement liés à l'interprétation géométrique du théorème.
Grâce à lui, les ingénieurs calculent la portance d'une aile et la poussée d'une hélice, et les physiciens dérivent la loi de l'induction électromagnétique : la variation du flux magnétique crée une tension dans le circuit.
La forme la plus concise du théorème fondamental de l'analyse ∫_a^b f'(x)dx = f(b)–f(a) est aussi un cas particulier du théorème de Stokes généralisé, rien que pour un segment unidimensionnel.
| f''(x) | variable | Second derivative of function f at x — dérivée seconde per metre squared |
| f(x+h) | variable | Function value at x+h — valeur de fonction |
| f(x-h) | variable | Function value at x-h — valeur de fonction |
| f(x) | variable | Function value at x — valeur de fonction |
| h | variable | Step size — spacing metre |
| \approx | opérateur | Approximately equal to — approximation |
