L'orchestre joue sans chef, et le tempo tantôt s'accélère, tantôt ralentit. Vous n'avez que l'enregistrement du son, pas la partition. Peut-on, à partir de cet enregistrement, comprendre quelle corde toucher pour que l'orchestre joue plus régulièrement ? C'est la tâche des scientifiques qui étudient les systèmes complexes comme le climat ou les rythmes biologiques : ils ne voient qu'une série temporelle d'observations, tandis que les équations qui régissent le système restent cachées.

Les auteurs de l'étude construisent un modèle approximatif directement à partir des données. Ils transforment la trajectoire des observations en une chaîne finie de transitions qui approxime la dynamique réelle. Si les mesures sont incomplètes, une technique spéciale est appliquée : à partir d'une seule grandeur mesurée, on reconstruit les variables cachées, comme on devine la forme d'un objet par son ombre sur un mur. Ensuite, on résout un problème d'optimisation : trouver une petite perturbation qui modifie le plus la fréquence ou la stabilité des oscillations. Pour plus de clarté, on construit un champ vectoriel de réponse optimale indiquant où agir en chaque point.

Sur l'exemple des données climatiques d'El Niño, il s'avère que la perturbation optimale pour augmenter la fréquence précède le cycle d'un quart de période, tandis que celle qui renforce les corrélations est en phase avec lui. Auparavant, on ne savait pas comment trouver la meilleure action lorsque les équations sont inconnues. Désormais, cela est possible directement à partir de la série temporelle. La méthode pourrait aider à évaluer l'influence de facteurs externes sur El Niño et à contrôler des systèmes chaotiques où les expériences sont impossibles.

Pour revenir à l'orchestre : à partir du seul enregistrement, on peut maintenant dire quel instrument et à quel moment il faut pousser pour que le tempo se régularise. Les mathématiques fournissent une carte précise des actions possibles.