Perturbation theory is a mathematical approach for approximating solutions to complex problems by starting from a known exact solution.Les systèmes physiques réels sont rarement résolus exactement. La théorie des perturbations est une recette de calculs approchés, où l'on décompose le problème en un « squelette » idéal exactement soluble et en faibles facteurs de complication (perturbations). La solution est recherchée sous la forme d'une chaîne de corrections, chaque suivante étant plus petite que la précédente. Cette approche domine en mécanique quantique, en astrophysique et en théorie des champs — partout où il existe un petit paramètre. Par exemple, en électrodynamique quantique, l'interaction des électrons avec la lumière est calculée comme une série selon la constante de structure fine (nombre d'environ 1/137).
Henri Poincaré a développé dans les années 1890 des méthodes de séries en petit paramètre pour le problème des trois corps en mécanique céleste. Dans les années 1920, Paul Dirac a formulé la théorie des perturbations dépendant du temps pour le calcul des transitions quantiques. John Archibald Wheeler a appliqué la théorie des perturbations en relativité générale et pour l'analyse de la diffusion des ondes gravitationnelles.
En théorie des perturbations stationnaire non relativiste, la correction du premier ordre à l'énergie est E_n^(1) = ⟨n^(0)|V|n^(0)⟩, où |n^(0)⟩ sont les vecteurs propres de H0. Au deuxième ordre, E_n^(2) = Σ_{m≠n} |⟨m^(0)|V|n^(0)⟩|^2/(E_n^(0) - E_m^(0)). Les séries sont souvent asymptotiques, elles ne convergent donc que pour une perturbation suffisamment petite. En électrodynamique quantique, le développement selon α≈1/137 donne une excellente convergence ; en chromodynamique quantique à basses énergies, la constante de couplage est grande, et des méthodes non perturbatives sont nécessaires (calculs sur réseau). Ainsi, comme l'astronome qui affinait l'orbite d'Uranus correction après correction, le physicien s'approche pas à pas de la vérité, jusqu'à ce que les petits ajouts ne changent plus le résultat.
Aujourd'hui, on calcule ainsi les trajectoires des satellites, le comportement des atomes dans la lumière laser et l'évolution des amas galactiques.
Grâce à la théorie des perturbations, on a calculé le moment magnétique anormal de l'électron, et le résultat a coïncidé avec l'expérience à la 12e décimale près — comme si vous mesuriez la distance de la Terre à la Lune avec une erreur de l'épaisseur d'un cheveu.
| E_n | variable | Perturbed energy of state n — énergie joule |
| E_n^{(0)} | variable | Unperturbed energy of state n — énergie joule |
| E_m^{(0)} | variable | Unperturbed energy of state m — énergie joule |
| H' | variable | Perturbation Hamiltonian — hamiltonien joule |
| |n^{(0)}\rangle | variable | Unperturbed state n — état quantique |
| |m^{(0)}\rangle | variable | Unperturbed state m — état quantique |
| \sum_{m \neq n} | opérateur | Sum over all states m except n — somme |
| \langle m^{(0)} | H' | opérateur | Matrix element of perturbation between unperturbed states — élément de matrice |
