Un orchestre joue sans chef, et vous entendez que le tempo tantôt s'accélère, tantôt ralentit. Vous n'avez en main que l'enregistrement du son, pas la partition. Peut-on, à partir de cet enregistrement, comprendre quelle corde toucher pour que tout l'orchestre joue plus régulièrement ? C'est à peu près la tâche qui se pose aux scientifiques qui étudient les systèmes complexes : le climat, la turbulence, les rythmes biologiques. Ils ne voient qu'une série temporelle d'observations, tandis que les équations qui régissent le système restent cachées.

L'approche classique exigeait de connaître ces équations, mais pour le climat réel ou un organisme vivant, on ne peut pas les écrire. C'est pourquoi les auteurs de l'étude construisent un modèle approximatif directement à partir des données : grâce au lissage par noyau, ils transforment la trajectoire des observations en une chaîne de Markov finie qui approxime l'opérateur de Koopman (un objet mathématique décrivant l'évolution des fonctions d'état). Si les observations sont incomplètes, on applique le plongement de Takens, qui, à partir d'une seule grandeur mesurée, reconstitue les variables cachées, comme on devine la forme d'un objet par son ombre sur un mur.

Ensuite, on formule un problème d'optimisation : trouver une matrice de perturbation dont les sommes des lignes sont nulles et avec des contraintes sur les transitions admissibles, qui maximise la dérivée du module ou de l'argument d'une valeur propre choisie. La solution est donnée par une formule explicite utilisant les vecteurs propres gauche et droit. Pour plus de clarté, on construit un champ de vecteurs de réponse optimale : il indique, en chaque point de l'espace des observations, la direction dans laquelle agir.

Sur l'exemple de la rotation non uniforme d'un cercle, la perturbation optimale pour accélérer le cycle s'est avérée tangente à la trajectoire et inversement proportionnelle à la vitesse actuelle : là où le mouvement est lent, la poussée doit être plus forte. Dans le système de Lorenz, la perturbation qui accélère la rotation autour des ailes est orthogonale aux lignes de niveau de l'argument du vecteur propre complexe, et non pas à la direction du flux. Dans l'exemple climatique d'El Niño, la perturbation optimale pour augmenter la fréquence est en avance d'un quart de période sur le cycle, tandis que pour renforcer les corrélations, elle est en phase. On a découvert un lien avec la phase du dipôle de l'océan Indien : IOD négatif pendant l'accumulation d'El Niño et positif pendant La Niña.

Auparavant, on ne savait pas comment trouver la meilleure petite action sur un système non linéaire si l'on ne dispose que de données d'observation et que les équations de la dynamique sont inaccessibles. Désormais, on peut calculer la perturbation optimale qui modifie au maximum la fréquence ou la stabilité des quasi-cycles et des ensembles quasi-invariants, directement à partir de la série temporelle. La méthode peut être appliquée en climatologie pour évaluer l'influence de facteurs externes sur El Niño, et dans le contrôle de systèmes chaotiques où les expériences sont impossibles ou trop coûteuses.

Pour revenir à l'orchestre : désormais, à partir du seul enregistrement, on peut dire quel instrument et à quel moment il faut pousser pour que le tempo se régularise. Et même si un vrai chef reste nécessaire pour l'interprétation, les mathématiques lui offrent une carte précise des actions possibles.