Оркестр играет без дирижёра, и вы слышите, что темп то ускоряется, то замедляется. В руках у вас только запись звучания, а не партитура. Можно ли по этой записи понять, какую именно струну тронуть, чтобы весь оркестр заиграл ровнее? Примерно такая задача стоит перед учёными, которые изучают сложные системы: климат, турбулентность, биологические ритмы. Они видят лишь временной ряд наблюдений, а уравнения, управляющие системой, скрыты.

Классический подход требовал знать эти уравнения, но для реального климата или живого организма их не напишешь. Поэтому авторы работы строят приближённую модель прямо из данных: с помощью ядерного сглаживания они превращают траекторию наблюдений в конечную марковскую цепь, которая приближает оператор Купмана (математический объект, описывающий эволюцию функций состояния). Если наблюдения неполные, применяется задержка Такенса, которая по одной измеряемой величине восстанавливает скрытые переменные, как по тени на стене угадывается форма предмета.

Дальше формулируется оптимизационная задача: найти матрицу возмущения с нулевыми суммами строк и ограничениями на допустимые переходы, которая максимизирует производную модуля или аргумента выбранного собственного значения. Решение даётся явной формулой через левый и правый собственные векторы. Для наглядности строится векторное поле оптимального отклика: оно показывает, в каком направлении в пространстве наблюдений нужно действовать в каждой точке.

На примере неравномерного вращения окружности оптимальное возмущение для ускорения цикла оказалось касательным к траектории и обратно пропорциональным текущей скорости: там, где движение медленное, толчок должен быть сильнее. В системе Лоренца возмущение, ускоряющее вращение вокруг крыльев, ортогонально линиям уровня аргумента комплексного собственного вектора, а не направлению потока. В климатическом примере Эль-Ниньо оптимальное возмущение для увеличения частоты опережает цикл на четверть периода, а для усиления корреляций — синфазно. Обнаружена связь с фазой диполя Индийского океана: отрицательный IOD во время накопления Эль-Ниньо и положительный при Ла-Нинья.

Раньше было непонятно, как найти наилучшее малое воздействие на нелинейную систему, если известны только данные наблюдений, а уравнения динамики недоступны. Теперь можно вычислить оптимальное возмущение, которое максимально меняет частоту или устойчивость почти-циклов и почти-инвариантных множеств, прямо из временного ряда. Метод может применяться в климатологии для оценки влияния внешних факторов на Эль-Ниньо и в управлении хаотическими системами, где эксперименты невозможны или слишком дороги.

Возвращаясь к оркестру: теперь по одной лишь записи можно сказать, какой инструмент и в какой момент нужно подтолкнуть, чтобы темп выровнялся. И хотя настоящий дирижёр по-прежнему нужен для интерпретации, математика даёт ему в руки точную карту возможных воздействий.