Теория возмущений — это математический подход для приближённого решения сложных задач, основанный на известном точном решении.Реальные физические системы редко решаются точно. Теория возмущений — это рецепт приближённых вычислений, где задачу разбивают на идеальный, точно решаемый «скелет» и слабые усложняющие факторы (возмущения). Ответ ищут в виде цепочки поправок, каждая следующая меньше предыдущей. Такой подход господствует в квантовой механике, астрофизике и теории поля — везде, где есть малый параметр. Например, в квантовой электродинамике взаимодействие электронов со светом считают как ряд по постоянной тонкой структуры (числу около 1/137).
Анри Пуанкаре (Henri Poincaré) в 1890-х годах разработал методы рядов по малому параметру для задач трёх тел в небесной механике. В 1920-х годах Поль Дирак (Paul Dirac) сформулировал зависящую от времени теорию возмущений для расчёта квантовых переходов. Джон Арчибальд Уилер (John Archibald Wheeler) применял теорию возмущений в общей теории относительности и для анализа рассеяния гравитационных волн.
В стационарной нерелятивистской теории возмущений для поправки первого порядка к энергии получается E_n^(1) = ⟨n^(0)|V|n^(0)⟩, где |n^(0)⟩ — собственные векторы H0. Во втором порядке E_n^(2) = Σ_{m≠n} |⟨m^(0)|V|n^(0)⟩|^2/(E_n^(0) - E_m^(0)). Ряды часто асимптотические, поэтому сходятся только при достаточно малом возмущении. В квантовой электродинамике разложение по α≈1/137 даёт прекрасную сходимость; в квантовой хромодинамике при низких энергиях константа связи велика, и нужны непертурбативные методы (решёточные вычисления). Так, подобно астроному, уточнявшему орбиту Урана поправкой за поправкой, физик шаг за шагом приближается к истине, пока малые добавки не перестанут менять результат.
Сегодня так рассчитывают траектории спутников, поведение атомов в лазерном свете и эволюцию галактических скоплений.
С помощью теории возмущений вычислили аномальный магнитный момент электрона, и результат совпал с экспериментом с точностью до 12 знака — как если бы вы измерили расстояние от Земли до Луны с погрешностью в толщину волоса.
| E_n | переменная | Возмущённая энергия состояния n — энергия Дж |
| E_n^{(0)} | переменная | Невозмущённая энергия состояния n — энергия Дж |
| E_m^{(0)} | переменная | Невозмущённая энергия состояния m — энергия Дж |
| H' | переменная | Гамильтониан возмущения — гамильтониан Дж |
| |n^{(0)}\rangle | переменная | Невозмущённое состояние n — квантовое состояние |
| |m^{(0)}\rangle | переменная | Невозмущённое состояние m — квантовое состояние |
| \sum_{m \neq n} | оператор | Сумма по всем состояниям m, кроме n — суммирование |
| \langle m^{(0)} | H' | оператор | Матричный элемент возмущения между невозмущёнными состояниями — матричный элемент |
