Гравитационная иллюзия симплекса: центр, который отталкивает ✛ ✎

Посмотрите на равносторонний треугольник — вероятностный симплекс для трёх активов. Каждая точка внутри — это портфель: неотрицательные доли, в сумме единица. Центр треугольника, барицентр, соответствует равномерному распределению капитала (1/3, 1/3, 1/3). Кажется, что, приближаясь к этой точке, вы снижаете риск и избегаете опасных границ. Но при определённых условиях путь к центру ведёт через невидимые пропасти.

Геометрическая ловушка устроена так: агрегационная функция η_ψ, определяющая структуру портфельного отображения в стохастической портфельной теории, искривляет допустимую область. Если в барицентре кривизна этой функции положительна, то существуют пары вполне разрешённых портфелей, для которых их полусумма — середина отрезка — уже нарушает запрет коротких позиций. Иными словами, область перестаёт быть выпуклой, а сам симплекс превращается в поле с гравитационными аномалиями.

Ключ к разгадке — нормальная форма ограничений, выведенная через координатно-агрегационное разложение:

\[ $G_i$(\mu) = B + \psi'(\mu_i) + \sum_{j=1}^n \eta_\psi(\mu_j) \]

Слагаемое ψ'($μ_i$) отвечает за вклад самой координаты, а сумма η_ψ($μ_j$) аккумулирует влияние всех активов. Именно нелинейность агрегационной функции превращает центр в гравитационную воронку. Мерой этой нелинейности служит разность Йенсена — аналог проверки на выпуклость в вариационном исчислении:

\[ $J_{\eta_\psi}$(x,h) = \eta_\psi(x+h) + \eta_\psi(x-h) - 2\eta_\psi(x) \]

Если J положительна для малых h, функция «выпячивается» вверх, и усреднение портфелей даёт неожиданный провал. На языке теории вероятностей это означает, что условное ожидание выходит за рамки линейной аппроксимации.

Этот эффект не просто курьёз. Он бьёт по популярной эвристике «равномерная диверсификация минимизирует риск коротких продаж», зашитой во многие алгоритмы робо-эдвайзинга. Когда робот советует двигаться к усреднённому рынку, он может незаметно для себя рекомендовать портфели с отрицательными весами — то есть долги. Анализ портфельных стратегий и динамических отображений должен учитывать такую геометрию, а теория графов симплекса помогает визуализировать эти связи. Уже найдены утешительные достаточные условия: если η_ψ вогнута или строго доминирует вторая производная, «центр» вновь становится убежищем. Любопытно, что энтропийный случай (логарифмическая функция) возвращает простейшую геометрию — область задаётся независимыми порогами.

Вспомните картинку треугольника. Сначала вам кажется, что центр светится безопасностью. Но теперь вы знаете: иногда это свет не маяка, а лавы в жерле.