Вариационный метод — это приближённый приём для оценки энергий основных состояний в квантовых системах.Вариационный метод — мощная техника аппроксимации, широко применяемая в физике и прикладной математике. Его суть в том, чтобы минимизировать или максимизировать функционал — правило, сопоставляющее функции число. В квантовой механике функционалом обычно выступает средняя энергия. Вы задаёте пробную волновую функцию с настраиваемыми параметрами и находите те значения параметров, при которых энергия минимальна. Согласно вариационному принципу, полученная энергия всегда не ниже точного основного состояния, поэтому, углубляя пробную функцию (увеличивая число параметров), можно сколь угодно приблизиться к истине. Аналогичный подход используется в теории упругости, гидродинамике и машинном обучении, где вариационные автоэнкодеры учатся сжимать и восстанавливать данные.
Корни метода уходят в XVII век — задачу о брахистохроне, решённую Иоганном Бернулли. Систематическое развитие вариационное исчисление получило в трудах Леонарда Эйлера и Жозефа Луи Лагранжа. Уолтер Ритц в 1908 году опубликовал метод пробных функций для решения краевых задач, а в 1928 году применил его к квантовомеханическому атому гелия, получив значения энергии, близкие к экспериментальным. Позже метод был обобщён в мощный вычислительный инструмент с появлением компьютеров. В статистической физике вариационный подход развивал Ричард Фейнман.
Для квантовой системы задаётся пробная волновая функция ψ(α; x) с вариационными параметрами α = (α1, α2, ...). Вычисляется функционал E(α) = ∫ ψ* H ψ dτ / ∫ |ψ|^2 dτ, где H — гамильтониан. Затем E(α) минимизируется: ∂E/∂α_i = 0. Решение даёт оптимальные α и оценку энергии E0 ≤ E_exact. Сходимость обеспечивается теоремой о полноте: если пробное семейство плотно в нужном функциональном пространстве, то предел E_min совпадает с точной энергией. В вариационном байесовском выводе минимизируется дивергенция Кульбака-Лейблера между приближением и истинным апостериорным распределением.
Квантовые химики так вычисляют форму молекул, а инженеры — оптимальную траекторию ракеты с минимальным расходом топлива.
Тропинка, протоптанная людьми через газон, часто является кратчайшим путём — это природное проявление вариационного принципа: траектория минимизирует усилия.
