Свет, улетая от массивного тела, теряет энергию — его волны растягиваются, цвет смещается в красную сторону. Это гравитационное красное смещение, известное ещё с работ Эйнштейна. Но на квантовом уровне фотон — не просто волна, а сгусток энергии, который можно описать набором параметров: например, начальной фазой и «весом» суперпозиции (тем, насколько частица находится в двух состояниях сразу). Проблема в том, что любой реальный канал связи или экспериментальная установка вносят шум.
Авторы рассмотрели два типа шума: затухание амплитуды (как если бы часть фотонов терялась по дороге) и расфазировку (когда случайные толчки сбивают синхронность волны). В обоих случаях стандартный квантовый предел Крамера-Рао — привычный инструмент для оценки точности — перестаёт работать для двух параметров сразу. Он даёт слишком радужную картину. Тогда учёные обратились к более строгим границам: Холево и Нагаоки. Их расчёт — задача не из простых, и здесь пришлось использовать полуопределённое программирование (метод, который решает сложные системы неравенств). Оказалось, что граница Нагаоки — самая жёсткая, ближе всего к реальности.
Когда же в игру вступает третий параметр — сама сила гравитационного красного смещения, — картина меняется. При сильной связи с шумовым каналом точность оценки всех трёх параметров резко возрастает. Для расфазировки важна ещё и «память» среды: если шум медленно затухает (субомический режим), измерения получаются точнее, чем при быстром забывании (суперомический).
Граница Нагаоки, которую здесь использовали, была предложена в 1989 году, но долго оставалась в тени более простых методов. Только с развитием вычислительных мощностей её стали применять на практике.
В романе «Свет далёких звёзд» астронавты используют квантовые измерения искажённого света, чтобы определить, насколько искривлено пространство вокруг чёрной дыры.