Свет, покидая окрестности массивного тела, теряет энергию: его волны растягиваются, а цвет смещается в красную сторону. Это гравитационное красное смещение — эффект, предсказанный ещё в работах Эйнштейна. Однако на квантовом уровне фотон — не просто волна, а квант энергии, состояние которого описывается набором параметров: например, начальной фазой и «весом» суперпозиции, то есть тем, насколько частица одновременно находится в двух состояниях. Любой реальный канал связи или экспериментальная установка неизбежно вносят шум, искажающий эти параметры.

Авторы рассмотрели два типичных типа шума: затухание амплитуды — как если бы часть фотонов терялась по дороге, — и расфазировку, когда случайные толчки сбивают синхронность волны. В обоих случаях стандартный квантовый предел Крамера-Рао — привычный инструмент для оценки достижимой точности — перестаёт адекватно работать при одновременной оценке двух параметров: он даёт слишком оптимистичную картину. Тогда учёные обратились к более строгим границам: Холево и Нагаоки. Их вычисление — нетривиальная задача, и здесь пришлось применить полуопределённое программирование — метод, который решает сложные системы неравенств. Оказалось, что граница Нагаоки — самая жёсткая и ближе всего к реально достижимой точности.

Когда же в задачу добавляется третий параметр — сама величина гравитационного красного смещения, — картина меняется. При сильной связи с шумовым каналом точность оценки всех трёх параметров резко возрастает. Для расфазировки важна ещё и «память» среды: если шум медленно затухает (субомический режим), измерения получаются точнее, чем при быстром забывании (суперомический).