уравнение

формула квадрупольного излучения

Формула квадрупольного излучения вычисляет эмиссию гравитационных волн от ускоряющихся распределений масс.
43 статьи · 4 формулы · 5 учёных

Описание

Формула квадрупольного излучения вытекает из уравнений Эйнштейна в приближении слабых полей. Гравитация, как и электромагнетизм, способна создавать волны, но с важным отличием: электрический диполь (пара зарядов + и -) излучает дипольно, а вот в гравитации запрещено дипольное излучение из-за закона сохранения импульса. Первый разрешённый член — квадрупольный. Это похоже на звук: равномерно пульсирующая сфера молчит, а сплющивающаяся и вытягивающаяся — звучит. Эйнштейн осознал это в 1916 году, но лишь в 1970-х формула была доведена до ума для астрофизических расчётов.

История

Идея гравитационных волн появилась у Альберта Эйнштейна в 1916 году, но первоначально он вывел формулу для простейшего случая вращающейся гантели. В 1918 году он исправил ошибки и показал, что гравитационное излучение имеет именно квадрупольный характер. В 1960–70-х годах, с открытием пульсаров, формула была уточнена и строго выведена в работах таких учёных, как Ричард Фейнман (объяснял через «липкую бусину») и Кип Торн (развивал теорию детектирования). Сегодня она лежит в основе гравитационно-волновой астрономии.

Как это работает

Формула критически важна для расчёта эволюции тесных двойных систем, состоящих из нейтронных звёзд или чёрных дыр. Она предсказывает форму волнового сигнала (чирп), по которому LIGO и Virgo опознают события слияния. Границы применимости — слабые поля и медленные движения (v << c), вблизи чёрных дыр нужен полный численный расчёт численной относительности. Также формула не работает для изолированных осесимметричных систем, где квадруполь не меняется.

Где применяется

Благодаря ей астрофизики вычисляют, когда сольются чёрные дыры, а детекторы LIGO настраивают на поиск именно такого рисунка — без неё гравитационные волны были бы предсказаны, но не опознаны.

Любопытный факт

Знаменитый двойной пульсар PSR B1913+16, открытый Халсом и Тейлором, затухает в точности по квадрупольной формуле, что принесло им Нобелевскую премию.

Граф понятий →

Формулы

$$h_{ij}^{\text{TT}} = \frac{2G}{c^4 D} \frac{d^2 I_{ij}}{dt^2}$$
Амплитуда гравитационной волны от массового квадрупольного момента.
Что в формуле
h_{ij}^{\text{TT}}переменнаяТензор амплитуды гравитационной волны в поперечно-бесследовой калибровке — деформация гравитационной волны
DпеременнаяРасстояние от источника до наблюдателя — расстояние м
I_{ij}переменнаяТензор массового квадрупольного момента — mass quadrupole moment кг·м²
tпеременнаяВремя — время с
GконстантаГравитационная постоянная в законе Ньютона — гравитационная постоянная = 6.67430e-11 м³/(кг·с²)
cконстантаУниверсальный предел скорости и скорость света в вакууме — скорость света = 299792458 м/с
d^2/dt^2операторВторая производная по времени — second time derivative
h_{ij}^{{tt}}=\frac{2g}{c^4d}\frac{d^2i_{ij}}{dt^2} · 2605.01216v1
h_{ij}^{tt}=\frac{2g}{c^4r}\ddot{q}_{ij}^{tt} · 2607.03904
$$A = \arccos(-\tan \phi \tan \delta)$$
Вычисляет азимут восхода по широте и склонению Солнца.
Что в формуле
AпеременнаяАзимутальный угол восхода — azimuth angle рад
φпеременнаяШирота наблюдателя — latitude рад
δпеременнаяСклонение Солнца — solar declination рад
arccosоператорФункция арккосинуса — arccosine
tanоператорФункция тангенса — tangent
a=\arccos(-\tanφ\tanδ) · 2607.14201
$$v_c = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$
Даёт орбитальную скорость для кругового движения под действием гравитации.
Что в формуле
v_cпеременнаяКруговая орбитальная скорость — скорость м/с
MпеременнаяМасса центрального тела — масса кг
rпеременнаяРадиус орбиты (расстояние от центра масс) — радиус м
GконстантаГравитационная постоянная, определяющая силу гравитационного взаимодействия. — гравитационная постоянная = 6.67430e-11 м³/(кг·с²)
v_c\approx\sqrt{\frac{gm_\star}{r}} · 2606.25022
$$v_{\rm esc} = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$$
Вторая космическая скорость (скорость убегания) из гравитационного потенциала.
Что в формуле
v_escпеременнаявторая космическая скорость — скорость м/с
Mпеременнаямасса гравитирующего тела — масса кг
rпеременнаярасстояние от центра масс — радиус м
GконстантаГравитационная постоянная, определяющая силу гравитационного взаимодействия. — гравитационная постоянная = 6.67430e-11 м³/(кг·с²)
v_{\rmesc}\approx66(\frac{m_{\rmcl}}{10^6m_\odot})^{1/2}(\frac{r_h}{4{пк}})^{-1/2}{км/с} · 2607.05495v1

Статьи по теме · 268

Как услышать сутки падения нейтронных звёзд
Переводчик отвлекается на каждый шорох в зале — и час совещания превращается в два. Примерно так вели себя детекторы гравитационных волн при анализе долгих сигналов: каждый поворот Земли добавлял помех в расчёты, и обработка суточного слияния нейтронных звёзд грозила растянуться на недели. Новая работа показывает, как навести порядок и услышать весь разговор целиком.
Переводчик, который не успевает за речью: как нейросеть ускоряет гравитационную астрономию
Синхронный переводчик в зале, где выступают двое: он должен успеть и за смыслом, и за интонацией, но если говорить слишком быстро, остаётся только пересказ. Примерно так чувствуют себя учёные, когда поток гравитационных волн от слияний чёрных дыр и нейтронных звёзд растёт, а точные расчёты сигналов не поспевают.
Горы на нейтронных звёздах: как магнитное поле и аккреция лепят рельеф
Скульптор лепит горы из магнитных полей и тепла, но камень сопротивляется. Нейтронная звезда — сверхплотный остаток взрыва сверхновой — в двойной системе перетягивает вещество с соседней звезды. Это падающее вещество нагревает кору звезды неравномерно, а магнитное поле тянет её изнутри.
Генеративный ИИ восстанавливает вещество нейтронных звёзд
Переводчик отвлекается на каждый шорох в зале — и час совещания превращается в два. Нейтронная звезда сжимает массу Солнца в шар диаметром с город, и вещество в её ядре плотнее атомного ядра. Как оно устроено, физики не могут проверить в лаборатории: нужное давление не создать. Уравнение состояния — связь давления и плотности энергии — остаётся главной загадкой.
Квантовые газы2026-08-181 минarXiv:2608.17668экспресс
Ударная волна в квантовой жидкости: как квантовые законы укрощают сверхзвуковой толчок
Если толкнуть воду в узком канале слишком быстро, возникает крутая волна, которая обрушивается пеной. В мире сверххолодных атомов, охлаждённых почти до абсолютного нуля, такой волне не дают обрушиться квантовые законы. Физики взяли облако атомов рубидия, вытянутое в тонкую нить — такую систему называют квантовой жидкостью, — и резко сжали его с одного конца подвижной стенкой из света.
Лотерея без выигрыша: почему карта гравитационного фона чаще всего пустая
Представьте лотерею, где вместо денег разыгрывают чёрные дыры. Каждый билет — случайная точка на небе, а выигрыш — гравитационная волна от слияния двух гигантов. Шанс сорвать джекпот ничтожен, но если уж повезло, волна будет слышна на всю Вселенную.
Звездотрясения новорождённых нейтронных звёзд: гравитационная симфония коллапса
После взрыва сверхновой в центре остаётся компактный объект размером с город — новорождённая нейтронная звезда. Это экстремальное состояние вещества: звезда горячая, сжатая до ядерной плотности и дрожит, как колокол после удара.
Квантовая физика2026-08-091 минarXiv:2608.08778экспресс
Как проверить квантовую природу гравитации
Два микроскопических алмаза парят в глубоком вакууме, разделённые расстоянием, которое свет не успевает преодолеть за время эксперимента. Внутри каждого, как застывшая искра, живёт спутанный спин — квантовое состояние, связывающее их в единое целое.
Как услышать квантовый шёпот гравитации
Когда горсть камешков падает в пруд, от каждого разбегаются круги. Если камешки разные, то и круги получатся разными: одни резкие, другие плавные. Но если смотреть на воду издалека и видеть лишь малую часть ряби, все эти отличия смазываются.
Гравитационная охота на эксцентричные пары сверхмассивных чёрных дыр
Где-то в глубинах космоса две сверхмассивные чёрные дыры кружатся друг вокруг друга. Их танец не плавный — орбита вытянута, словно резиновый жгут, который то натягивается, то сжимается. Каждый такой оборот рождает рябь в ткани пространства-времени — гравитационные волны.
Гравитационная рябь раскрывает карту: пульсарный тайминг как телескоп
Десятки радиотарелок, разбросанных по Земле, годами слушают тиканье далёких пульсаров — мёртвых звёзд, которые вращаются и шлют импульсы строже атомных часов. Когда между звездой и нами проходит гравитационная волна — рябь пространства-времени, — тиканье чуть-чуть сбивается. Сеть таких часов и есть пульсарный тайминг, а сбои — след гравитационной ряби.
Как квантовая запутанность меняет музыку Большого взрыва
В первые мгновения после Большого взрыва Вселенная раздувалась быстрее, чем свет успевал её пересечь. Этот процесс, называемый космологической инфляцией, можно представить как надуваемый воздушный шар, только вместо резины растягивается само пространство.
Как гравитационные волны разоблачают самозванцев среди чёрных дыр
Бросьте в пруд два камня разной формы — круги на воде расскажут, какой из них был гладким, а какой угловатым. Так же работают гравитационные волны — рябь пространства-времени, предсказанная общей теорией относительности: когда два сверхплотных объекта сливаются, дрожь пространства-времени разносит подробности об их внутреннем устройстве.
Квантовая физика2026-08-072 минarXiv:2608.07257экспресс
Как гравитационные волны взаимодействуют с веществом: квантовый взгляд
Камень падает в пруд — и по воде расходятся круги. Так же массивные тела рождают гравитационные волны — колебания самого пространства-времени. До сих пор эти волны ловили огромными детекторами: они чуть вздрагивают, когда волна проходит сквозь них. А что творится на микроуровне, внутри крошечного кусочка вещества?
Космология2026-08-071 минarXiv:2608.07264экспресс
Как дрожь пространства мешает рождаться чёрным дырам
Когда воздушный шарик надувают слишком быстро, его стенки начинают дрожать. Примерно то же самое происходило с пространством в первые мгновения после Большого взрыва: Вселенная раздувалась стремительно, и сама её ткань пошла рябью.
Приливный отпечаток нейтронных звёзд
Слияние двух нейтронных звёзд — это не просто столкновение. Ещё до касания они деформируют друг друга приливными силами, и эта деформация зависит от того, насколько «мягкая» или «жёсткая» материя внутри. Жёсткая материя сопротивляется сильнее, мягкая — легче меняет форму.
Гравитационный шум: как рябь пространства стирает квантовые суперпозиции
Два массивных тела, застывших в квантовой суперпозиции, напоминают пару танцоров, которые пытаются сохранить единый ритм, пока вокруг них шумит оркестр. Каждая гравитационная волна — это музыкант, сбивающий их с такта.
Как рождение Вселенной управляет тёмной энергией сегодня
Всё началось с растяжения. В первые доли секунды Вселенная раздулась — физики называют это инфляцией: экспоненциальное расширение, за которым стояло скалярное поле с огромной потенциальной энергией. Потом стремительное расширение сменилось фазой, где энергия поля перешла в обычные частицы.
Рождение частиц из квантового вакуума: теорема Глаубера для гравитонов и аксионов
Квантовый мир напоминает кухню, где из «ничего» вдруг появляются частицы. Но для этого нужен повар — классическое поле, которое действует как внешний источник. Теорема Глаубера, давно известная в оптике, теперь обобщена: она показывает, как именно поле «готовит» частицы, будь то фотоны или гравитоны.
Когда частицы шепчут на прощание: квантовые хвосты в многомерных мирах
Два заряженных шарика столкнулись и разлетелись в разные стороны. Казалось бы, всё позади — но свет от их прощания ещё долго бродит по пространству. В обычном мире это давно известный эффект: ускоренный заряд всегда излучает электромагнитные волны.
Нейтрино как волны в звёздном огне: коллективные колебания в сердце сверхновой
В центре умирающей звезды, когда её ядро сжимается в нейтронный шар, рождается невидимый шторм. Триллионы нейтрино — частиц-призраков, почти не взаимодействующих с веществом, — мечутся в раскалённой плазме. Их так много, что они начинают влиять друг на друга, меняя свои «вкусы» (ароматы: электронное, мюонное, тау-нейтрино) словно хамелеоны.
Космология2026-08-041 минarXiv:2608.03739экспресс
Космологическая память гравитационных волн: как одиночный сигнал раскрывает историю расширения Вселенной
Гравитационная волна — это колебание самой ткани пространства-времени, порождённое, например, слиянием чёрных дыр. Представьте её как звон колокола в ночи: по громкости можно судить о расстоянии до источника.
Как кванты уносят вращение от звёздных пар
Две звезды кружатся друг вокруг друга, постепенно сближаясь. Их танец теряет энергию, и эта энергия уходит в пространство — в виде гравитационных волн, а иногда и других полей.
Скачок вместо плавного скольжения: как нейтронные звёзды выдают себя
В двойной звёздной системе одна звезда перетягивает вещество с соседки. Веками оно оседает на поверхности нейтронной звезды — сверхплотного остатка погибшего светила, где чайная ложка вещества весит миллиарды тонн.
Как кванты уносят вращение от звёздных пар
Две звезды кружатся друг вокруг друга, постепенно сближаясь. Их танец теряет энергию, и эта энергия уходит в пространство — в виде гравитационных волн, а иногда и других полей.
Взрывы звёзд поют на двух частотах
Когда умирает звезда во много раз тяжелее Солнца, она сжимается и взрывается сверхновой. Это не просто вспышка света — весь процесс, от обрушения ядра до разлёта оболочки, порождает дрожь самого пространства. Такие волны называют гравитационными. Учёные взяли десятки трёхмерных моделей взрывов и выяснили: гравитационный гул от сверхновых складывается из двух частей.
Невидимые трещины в гравитации: проверка лоренц-инвариантности
В 2017 году гравитационно-волновые детекторы LIGO и Virgo зафиксировали гравитационную волну — колебание самой ткани пространства-времени от столкновения двух нейтронных звёзд — сверхплотных остатков массивных светил.
Невидимые трещины в гравитации: проверка лоренц-инвариантности
В 2017 году гравитационно-волновые детекторы LIGO и Virgo зафиксировали гравитационную волну — колебание самой ткани пространства-времени от столкновения двух нейтронных звёзд — сверхплотных остатков массивных светил.
Квантовая физика2026-08-011 минarXiv:2608.00550экспресс
Как шум ограничивает точность измерения гравитационного красного смещения фотонов
Свет, покидая окрестности массивного тела, теряет энергию: его волны растягиваются, а цвет смещается в красную сторону. Это гравитационное красное смещение — эффект, предсказанный ещё в работах Эйнштейна.
Космология2026-07-312 минarXiv:2607.29013экспресс
Осциллоны: рябь на ткани ранней Вселенной
Самый первый миг существования Вселенной подобен натянутой струне, по которой внезапно ударили. Она завибрировала, и эти колебания застыли в крупномасштабной структуре — галактиках и пустотах. Но физики подозревают, что были и другие вибрации — быстрые, локальные, почти как барабанная дробь на фоне медленной мелодии.
Разделение гравитационно-волновых сигналов: астрофизический и космологический фон
Представьте шумное кафе. Вы пытаетесь расслышать два тихих разговора: один доносится от столика у окна — это слияния чёрных дыр, второй — едва уловимый шёпот из дальнего угла, отголоски рождения Вселенной. Но всё заглушает гул кофемашины и уличный шум — дрожание детекторов. Новая работа учит компьютер разделять эти звуки.
Гравитационные волны в шумной комнате
Маятник в шумной комнате постоянно получает толчки от проходящих людей. Его движение — смесь регулярных качаний и случайных рывков. Нечто подобное происходит со слабыми гравитационными волнами на фоне расширяющейся Вселенной. В общей теории относительности Эйнштейна эти волны — крошечные колебания пространства-времени. Но они не изолированы.
Как чёрные дыры дрожат после удара
Камень падает в спокойную воду — по поверхности расходятся круги. Похоже ведёт себя чёрная дыра, когда в неё что-то падает или она сливается с другой. Дыра начинает колебаться, и эти колебания уходят в пространство гравитационными волнами. Астрофизики называют этот процесс «звоном» чёрной дыры.
Как гравитация перекрашивает гравитационные волны
Свет в линзе меняет направление — это знают все. Гравитационные волны, проходя мимо массивного тела, тоже искривляют путь. Но авторы этой работы заглянули дальше: что происходит с самим «цветом» волны — её поляризацией, то есть направлением колебаний.
Как причесать гравитационные волны из юной Вселенной
В первые мгновения жизни Вселенная напоминала бурлящий котёл. Вещество не было разлито ровно — в нём зрели сгустки и пустоты, и их бурное движение рождало дрожь самого пространства: гравитационные волны. Сегодня мы пытаемся уловить их отголоски — например, с помощью сети радиотелескопов NANOGrav, — и сравнить с предсказаниями.
Гигантские пузыри за горизонтом: их столкновение слышно в гравитационных волнах
Первые мгновения после Большого взрыва: пространство стремительно раздувается — физики называют этот период инфляцией. Внутри этой разбухающей ткани, словно мыльные пузыри в струе воздуха, начинают зарождаться области нового вакуума — происходит фазовый переход первого рода. Большинство пузырей лопаются или сливаются, едва появившись.
Гравитационные волны превращаются в свет
Брошенный камень расходится кругами по воде. Гравитационная волна — такая же рябь, но в пространстве-времени. Её порождает, например, слияние двух чёрных дыр. В классической физике эта рябь вечна: раз возникнув, она летит сквозь Вселенную, не затухая. Но гравитация подчиняется квантовым законам.
Цифровой дирижёр гравитационных волн: нейросеть дирижирует слияниями чёрных дыр
В сентябре 2015-го два четырёхкилометровых лазерных луча сжались на тысячную долю протона — детекторы LIGO впервые поймали гравитационную волну. Её источником оказалось слияние двух чёрных дыр в 1,3 миллиарда световых лет от нас.
Электрическое соло инфляции: как заряженные поля оставляют аккорд в гравитационных волнах
За 10⁻³⁵ секунды после Большого взрыва разыгралась самая стремительная часть. Пространство раздувалось быстрее света — это инфляция. Почти всю партитуру исполняло одно поле, инфлатон, дирижировавшее темпом и тональностью.