Формула квадрупольного излучения вычисляет эмиссию гравитационных волн от ускоряющихся распределений масс.Формула квадрупольного излучения вытекает из уравнений Эйнштейна в приближении слабых полей. Гравитация, как и электромагнетизм, способна создавать волны, но с важным отличием: электрический диполь (пара зарядов + и -) излучает дипольно, а вот в гравитации запрещено дипольное излучение из-за закона сохранения импульса. Первый разрешённый член — квадрупольный. Это похоже на звук: равномерно пульсирующая сфера молчит, а сплющивающаяся и вытягивающаяся — звучит. Эйнштейн осознал это в 1916 году, но лишь в 1970-х формула была доведена до ума для астрофизических расчётов.
Идея гравитационных волн появилась у Альберта Эйнштейна в 1916 году, но первоначально он вывел формулу для простейшего случая вращающейся гантели. В 1918 году он исправил ошибки и показал, что гравитационное излучение имеет именно квадрупольный характер. В 1960–70-х годах, с открытием пульсаров, формула была уточнена и строго выведена в работах таких учёных, как Ричард Фейнман (объяснял через «липкую бусину») и Кип Торн (развивал теорию детектирования). Сегодня она лежит в основе гравитационно-волновой астрономии.
Формула критически важна для расчёта эволюции тесных двойных систем, состоящих из нейтронных звёзд или чёрных дыр. Она предсказывает форму волнового сигнала (чирп), по которому LIGO и Virgo опознают события слияния. Границы применимости — слабые поля и медленные движения (v << c), вблизи чёрных дыр нужен полный численный расчёт численной относительности. Также формула не работает для изолированных осесимметричных систем, где квадруполь не меняется.
Благодаря ей астрофизики вычисляют, когда сольются чёрные дыры, а детекторы LIGO настраивают на поиск именно такого рисунка — без неё гравитационные волны были бы предсказаны, но не опознаны.
Знаменитый двойной пульсар PSR B1913+16, открытый Халсом и Тейлором, затухает в точности по квадрупольной формуле, что принесло им Нобелевскую премию.
| h_{ij}^{\text{TT}} | переменная | Тензор амплитуды гравитационной волны в поперечно-бесследовой калибровке — деформация гравитационной волны |
| D | переменная | Расстояние от источника до наблюдателя — расстояние м |
| I_{ij} | переменная | Тензор массового квадрупольного момента — mass quadrupole moment кг·м² |
| t | переменная | Время — время с |
| G | константа | Гравитационная постоянная в законе Ньютона — гравитационная постоянная = 6.67430e-11 м³/(кг·с²) |
| c | константа | Универсальный предел скорости и скорость света в вакууме — скорость света = 299792458 м/с |
| d^2/dt^2 | оператор | Вторая производная по времени — second time derivative |
| A | переменная | Азимутальный угол восхода — azimuth angle рад |
| φ | переменная | Широта наблюдателя — latitude рад |
| δ | переменная | Склонение Солнца — solar declination рад |
| arccos | оператор | Функция арккосинуса — arccosine |
| tan | оператор | Функция тангенса — tangent |
| v_c | переменная | Круговая орбитальная скорость — скорость м/с |
| M | переменная | Масса центрального тела — масса кг |
| r | переменная | Радиус орбиты (расстояние от центра масс) — радиус м |
| G | константа | Гравитационная постоянная, определяющая силу гравитационного взаимодействия. — гравитационная постоянная = 6.67430e-11 м³/(кг·с²) |
| v_esc | переменная | вторая космическая скорость — скорость м/с |
| M | переменная | масса гравитирующего тела — масса кг |
| r | переменная | расстояние от центра масс — радиус м |
| G | константа | Гравитационная постоянная, определяющая силу гравитационного взаимодействия. — гравитационная постоянная = 6.67430e-11 м³/(кг·с²) |















