Deux villes avec la même densité de population moyenne. Dans l'une, un quadrillage soigné de quartiers ; dans l'autre, un labyrinthe de ruelles étroites et de places inattendues. Sur la carte globale, elles semblent jumelles, mais la vie à l'intérieur s'écoule de manière radicalement différente. C'est à peu près ainsi que se présentent deux configurations centrales (points critiques de la variety dans l'espace des formes) de 5000 particules de masse égale, étudiées dans un nouveau travail. Leur mesure globale de regroupement — la variety — ne diffère que de 1,686 % : 0,5857 et 0,5956. Cette grandeur, introduite dans l'approche de Barbour, Koslowski et Mercati, sert d'indicateur de la flèche gravitationnelle du temps dans le problème newtonien à N corps avec énergie, impulsion et moment cinétique nuls. Elle croît de part et d'autre du point de Janus — le moment de taille minimale du système. Mais l'exhaustivité d'une telle description restait en question.

Pour regarder à l'intérieur des « villes », les auteurs ont introduit une mesure invariante d'échelle — l'anisotropie des six plus proches voisins A6. Pour chaque particule, on construisait le tenseur des seconds moments des déplacements des voisins, et A6 était définie comme le rapport de la différence à la somme de ses valeurs propres : 0 pour un environnement isotrope (comme des points sur une grille uniforme), 1 pour un environnement colinéaire (comme des perles sur un fil). La A6 moyenne pour la configuration avec la plus petite variety était de 0,1331 — un fond presque isotrope. Et pour la configuration avec la plus grande variety — 0,3419, une différence de 156,8 %. Les médianes différaient encore plus : 0,1133 contre 0,3226.

Dans la première configuration, aucune particule n'avait une A6 supérieure à 0,5 — tout comme une ville avec des transitions douces. Dans la seconde, 18,1 % d'entre elles dépassaient ce seuil — des quartiers entiers de structures allongées. Les distributions de probabilité de A6 ont une distance de Kolmogorov–Smirnov de 0,557, ce qui confirme leur forte différence. Les valeurs élevées de A6 se concentrent le long de filaments et d'arcs incurvés — comme des ruelles étroites traversant la deuxième ville. Le signe de la différence persistait pour toutes les tailles de voisinage testées (k de 4 à 12), bien que l'ampleur de la différence variait de 8,8 % à 161,8 %. Un test de robustesse aux paires très proches (remplacement des composantes connexes par des centroïdes) a réduit la A6 moyenne à 0,3169, mais la différence avec la première configuration restait à 138,1 %.

Le résultat montre que la grandeur scalaire globale variety ne détermine pas de manière univoque l'organisation géométrique locale du système. Deux « villes » avec presque la même densité moyenne peuvent être structurées de manière fondamentalement différente : l'une est une dispersion uniforme, l'autre un labyrinthe de filaments. Cela ne diminue pas le rôle de la variety comme indicateur de la flèche, mais souligne la nécessité d'observables relationnelles supplémentaires, locales, pour une description plus complète de l'évolution structurelle. La flèche gravitationnelle pourrait être un phénomène multidimensionnel, où le regroupement global n'est que le premier niveau d'une hiérarchie de descripteurs.

Ainsi, nous revenons à l'image des deux villes. Sur la carte, elles sont presque indiscernables, mais à l'intérieur, l'une est une banlieue paisible, l'autre un enchevêtrement de voies tendues. Pour comprendre leur destin, il ne suffit pas de connaître la densité moyenne — il faut voir la géométrie des rues.