En génétique des populations, on étudie généralement les statistiques des fréquences alléliques sous sélection faible ou sous neutralité. Or, dans de nombreux scénarios biologiques, comme l'adaptation des virus, des bactéries ou la sélection artificielle, la sélection est forte par rapport à la dérive. À côté de ce travail se trouvent des études qui soit se concentrent sur les résultats à long terme sous sélection forte, soit utilisent une seule trajectoire déterministe. Cet article comble une lacune : il examine les statistiques transitoires (dépendantes du temps) dans le régime de sélection forte, où les approximations standard donnent de grandes erreurs parce qu'elles ignorent les trajectoires menant à la perte de l'allèle.
L'auteur travaille dans le cadre de l'approximation diffusive du modèle de Wright-Fisher. On introduit un paramètre R = 2Ne|s|, où Ne est la taille efficace de la population et s le coefficient de sélection. Lorsque R >> 1, la sélection est forte. La statistique de la fréquence allélique s'écrit comme une somme pondérée de deux espérances conditionnelles : conditionnellement à la fixation et conditionnellement à la perte. Ensuite, chaque espérance conditionnelle est réécrite à l'aide d'un processus modifié dont la sélection est changée. Puis on applique un développement en le petit paramètre ε = 1/R, où √ε est l'amplitude du bruit (la dérive). L'approximation retient les termes jusqu'à l'ordre ε, ce qui donne la contribution de deux trajectoires déterministes et des fluctuations autour d'elles. Les équations pour les trajectoires déterministes et les corrections de fluctuation sont résolues numériquement.
On obtient des expressions explicites pour la moyenne et la variance de la fréquence allélique en fonction du temps. La moyenne est approchée par la somme des trajectoires déterministes pondérées et d'une correction d'ordre 1/R. La variance contient un terme issu de la différence entre les deux trajectoires déterministes et un terme issu des fluctuations. La comparaison numérique avec les résultats exacts du modèle de Wright-Fisher montre que l'approximation purement déterministe peut donner une erreur allant jusqu'à 100 % pour la variance, surtout lorsque la fréquence initiale est petite. L'inclusion de la correction de fluctuation réduit l'erreur à quelques pour cent. Par exemple, pour R=50 et une fréquence initiale y=0.001, l'erreur de la moyenne passe de 10.6 % à 3.2 %, et celle de la variance de 12.6 % à 4.9 %. La contribution des fluctuations est particulièrement importante aux temps précoces, lorsque la variance déterministe est presque nulle.
Le travail montre que même sous sélection forte, on ne peut pas négliger les trajectoires menant à la perte de l'allèle. Contrairement aux études voisines, qui utilisent une seule trajectoire déterministe ou n'examinent que les limites à long terme, on propose ici une méthode systématique pour les statistiques transitoires. Cela comble une lacune importante : on peut désormais calculer correctement la dynamique temporelle des fréquences alléliques dans le régime de sélection forte, ce qui était impossible avec les approches standard. La méthode révèle aussi que les fluctuations ne sont pas toujours de petites corrections : pour la variance, elles peuvent dominer sur certains intervalles de temps.
La méthode peut être étendue au cas de plusieurs allèles, où il faudra sommer sur les fixations des différents allèles. On peut aussi envisager d'inclure les mutations, ce qui exigera une autre approche, car la distribution stationnaire n'est pas décrite par deux trajectoires déterministes. La généralisation à une taille de population variable et à une sélection changeante présente également un intérêt. En outre, on peut étudier le comportement dans les couches limites près des fréquences 0 et 1, où les développements asymptotiques peuvent demander un traitement séparé.
La méthode s'applique à l'analyse de séries temporelles de fréquences alléliques en évolution expérimentale, dans les populations virales et bactériennes, ainsi que dans les programmes de sélection artificielle. Elle peut améliorer l'estimation des paramètres de sélection à partir des données et aider à prédire le destin des allèles bénéfiques dans les petites populations, ce qui importe pour la génétique de la conservation.
L'étape suivante pourrait être l'application de la méthode à des données réelles de séries temporelles de fréquences alléliques, afin de vérifier son efficacité pour estimer les coefficients de sélection. Il faudrait aussi étudier l'extension au cas de plusieurs allèles et l'inclusion des mutations.
En génétique des populations, la description précise de la dynamique transitoire des fréquences alléliques sous sélection forte reste un problème ouvert, en particulier pour la variance et les moments d'ordre supérieur. Ce travail résout directement ce problème dans le cas de deux allèles sans mutation, en proposant une méthode numériquement efficace. Il soulève aussi la question de la validité des développements asymptotiques près des bornes de l'intervalle des fréquences.
Même sous sélection forte, lorsque la force déterministe est grande, la variance de la fréquence allélique peut être presque entièrement déterminée par les fluctuations aléatoires pendant longtemps. Par exemple, pour R=50 et une fréquence initiale y=0.001, la contribution déterministe à la variance est pratiquement nulle jusqu'au temps τ≈5, tandis que la contribution des fluctuations décrit exactement la variance réelle.