Un processus stochastique où l'état d'un système évolue par des pas aléatoires, souvent utilisé pour modéliser la diffusion.Une marche aléatoire est un modèle mathématique d'un trajet constitué d'une séquence de pas aléatoires. C'est la description la plus simple et la plus universelle de la diffusion : une particule (ou une molécule, un animal, ou même un prix d'action) qui se déplace de telle sorte que chaque pas est indépendant des précédents. La marche aléatoire explique pourquoi une goutte d'encre se répand dans l'eau, comment la chaleur se propage dans un solide, et comment le trajet d'un ivrogne errant depuis un lampadaire se retrouve, en moyenne, à une distance proportionnelle à la racine carrée du nombre de pas.
La marche aléatoire a été formalisée pour la première fois par Karl Pearson en 1905, qui l'a posée comme problème dans Nature, et indépendamment par Albert Einstein dans son article de 1905 sur le mouvement brownien, où il a dérivé l'équation de diffusion à partir des collisions moléculaires aléatoires. La théorie mathématique a ensuite été développée par George Pólya et William Feller.
Dans le cas le plus simple, un marcheur sur une ligne fait un pas à gauche ou à droite avec une probabilité égale. Après N pas, la position attendue est zéro, mais la distance attendue depuis le départ croît comme √N. Cette loi en racine carrée est la signature de la diffusion : le déplacement quadratique moyen croît linéairement avec le temps. Dans des contextes plus complexes, les pas peuvent avoir différentes longueurs, directions ou probabilités, mais le théorème central limite assure que de nombreuses marches aléatoires convergent vers le même comportement diffusif. En mécanique quantique, la même idée s'applique à l'évolution d'une fonction d'onde sous des perturbations aléatoires, menant à des phénomènes comme la localisation d'Anderson.
Les marches aléatoires modélisent la diffusion en physique et en chimie, les fluctuations des prix des actions en finance, les schémas de recherche de nourriture des animaux en biologie, et la propagation des rumeurs ou des maladies dans les réseaux.
Dans une marche aléatoire en 2D, le marcheur revient à l'origine avec une probabilité de 1, mais en 3D, la probabilité n'est que d'environ 0,34 — ce qui signifie qu'une fourmi ivre sur un plan reviendra toujours à la maison, mais qu'un oiseau ivre pourrait se perdre pour toujours.
