Une variable dont les valeurs possibles sont des résultats numériques d'un phénomène aléatoire.Une variable aléatoire est une fonction mathématique qui attribue une valeur numérique à chaque issue d'une expérience aléatoire. C'est un concept fondamental de la théorie des probabilités et des statistiques, qui fait le pont entre des issues abstraites (comme les lancers de pièce ou de dé) et des grandeurs mesurables. Les variables aléatoires peuvent être discrètes, prenant un ensemble dénombrable de valeurs (par exemple, le nombre de faces en 10 lancers), ou continues, prenant n'importe quelle valeur dans un intervalle (par exemple, la taille exacte d'une personne choisie au hasard).
Le concept formel de variable aléatoire a été développé au début du XXe siècle, avec des contributions clés d'Andreï Kolmogorov dans les années 1930, qui a fondé les probabilités sur une base rigoureuse de la théorie de la mesure.
Formellement, une variable aléatoire X fait correspondre à chaque élément de l'espace des échantillons Ω un nombre réel. La probabilité que X prenne une valeur particulière ou tombe dans un intervalle est déterminée par sa loi de probabilité. Pour les variables discrètes, il s'agit d'une fonction de masse ; pour les variables continues, d'une densité de probabilité. L'espérance et la variance résument le centre et la dispersion de la loi. Les variables aléatoires permettent d'appliquer le calcul différentiel et l'algèbre au hasard, ce qui rend possibles les prédictions et l'inférence.
Les variables aléatoires sont utilisées partout en science et en ingénierie : dans l'évaluation des risques, la modélisation financière, le contrôle qualité, l'apprentissage automatique et la physique (par exemple, les résultats de mesure en mécanique quantique). Elles sont les briques de base de l'inférence statistique et de la simulation.
En mécanique quantique, le résultat d'une mesure est une variable aléatoire, mais sa distribution est déterminée par la fonction d'onde — ainsi, le caractère aléatoire est intrinsèque, et non simplement un manque d'information.
| X | variable | first random variable — variable aléatoire |
| Y | variable | second random variable — variable aléatoire |
| Var(X) | variable | variance of X — variance |
| Var(Y) | variable | variance of Y — variance |
| Var(X+Y) | variable | variance of the sum X+Y — variance |
| f | variable | probability density function — probability density function |
| x | variable | random variable — variable aléatoire |
| k | variable | power law exponent — power law exponent |
| D_{KL} | variable | Kullback-Leibler divergence — information divergence |
| P(x) | variable | probability density of distribution P — probability density |
| Q(x) | variable | probability density of distribution Q — probability density |
| x | variable | random variable — variable aléatoire |
| \int | opérateur | sums the integrand over all values of x — opérateur intégral |
| \log | opérateur | computes the logarithm of the ratio — logarithme |
| X_n | variable | random variable indexed by n — variable aléatoire |
| d_s | variable | spectral dimension — spectral dimension |
| Var | opérateur | statistical variance of a random variable — variance |
| ~ | opérateur | asymptotically proportional to (up to a constant factor) — asymptotic equivalence |
| f | opérateur | some function of the spectral dimension — function |
