Капля сливок падает в чашку с кофе — и через минуту весь напиток становится бежевым. Этот процесс перемешивания можно измерить: насколько сильно нужно «пошевелить» одно распределение частиц, чтобы превратить его в другое. В математике такой подход называют оптимальным транспортом, а меру усилий — расстоянием Васильштейна.
Авторы работы применили эту идею к квантовым системам. Они взяли простейший пример — одиночный квантовый гармонический осциллятор (маятник из микромира) — и проследили, как меняется его состояние, когда он обменивается энергией с окружением. Если измерять расстояние между состояниями осциллятора с помощью оптимального транспорта, то сама история его изменений выстраивается в геометрию, похожую на пространство-время вокруг чёрной дыры. Там, где информация о системе теряется безвозвратно, возникает аналог горизонта событий — поверхности, из-под которой не возвращается даже свет.
Тот же рецепт проверили на более сложной модели — подсистеме модели SYK, которая в теории голографии описывает двумерную чёрную дыру. Полученная география в точности совпала с уже известным пространством анти-де-ситтера, подтвердив догадку. Любопытно, что использованная мера расстояния оказалась родственна так называемой сложности Крылова — величине, оценивающей, насколько «запутанной» становится квантовая система со временем.
Расстояние Васильштейна получило своё название в честь советского математика Леонида Васильштейна, но сам метод оптимального транспорта восходит к работам французского инженера Гаспара Монжа, который в XVIII веке думал о том, как эффективнее перемещать землю при строительстве укреплений.
В романе «Город перестановок» Грега Игана виртуальные вселенные возникают из клеточных автоматов — здесь же пространство-время рождается из игры вероятностей квантовых систем.