Ударьте по колоколу — он отзовётся на своей ноте. Так же и чёрная дыра, потревоженная падением звезды или другой дыры, начинает «звенеть», испуская гравитационные волны. Только вместо звука — дрожь самого пространства, а вместо одной ноты — целый набор затухающих частот. Их называют квазинормальными модами.

Чтобы вычислить эти частоты, авторы взяли старый добрый метод ВКБ (он же метод фазовых интегралов) и применили его к уравнениям, описывающим возмущения вокруг чёрной дыры. ВКБ напоминает прогулку по холмистой местности: вы предсказываете, где окажетесь, зная только форму склонов под ногами. Для обычной квантовой механики метод работает отлично, но здесь сложнее. Частоты получаются комплексными числами — с действительной частью (тон) и мнимой (как быстро затухает).

Авторы не остановились на обычном ВКБ-разложении. Они вычислили так называемые квантовые периоды (или символы Вороса) — специальные интегралы по замкнутым путям в комплексной плоскости, которые кодируют весь спектр. Затем применили суммирование Бореля–Паде: это способ «досчитать» расходящийся ряд до разумного числа, как если бы по нескольким первым нотам угадали всю мелодию. Результат сравнили с численными расчётами для двух типов дыр: заряженной без вращения (Рейсснера–Нордстрёма) и вращающейся без заряда (Керра). Обе — в предельном, экстремальном состоянии, когда горизонт событий вот-вот исчезнет. Совпадение оказалось отличным.

Такой подход даёт не просто числа, а глубокое понимание структуры уравнений. В будущем его можно будет применить к более реалистичным чёрным дырам и, возможно, уловить отклонения от эйнштейновской теории гравитации — если они есть.