Капля мёда растекается по столу медленно, вода — быстро. Сопротивление течению — вязкость — у разных жидкостей своя. Но что, если вязкость меняется прямо на лету, по мере того как вещество сжимается или расширяется? Именно так ведут себя многие газы, и уравнения, которые описывают их движение, — уравнения Навье-Стокса — становятся почти невыносимо сложными.
Авторы работы взяли случай, когда вязкость зависит от плотности газа по степенному закону: чем плотнее газ, тем он более вязкий (показатель степени больше 1/2, но меньше 1). И рассмотрели они шар из газа, который на бесконечности просто исчезает — плотность падает до нуля. Такой «дальний вакуум» — обычное дело для атмосфер планет или облаков межзвёздного газа. Но для математика это кошмар: уравнения вырождаются, и непонятно, имеют ли они вообще решение.
Оказалось, что даже при очень больших начальных возмущениях — например, когда шар из газа резко сжимают — решение остаётся гладким и существует сколь угодно долго. Это работает и на плоскости, и в трёхмерном пространстве. Главная хитрость была в том, чтобы обойти сразу три ловушки: вырождение у вакуума, особенность в центре шара (там координаты как бы схлопываются) и нелинейную вязкость. Математический инструмент, который для этого придумали, годится и для случая, когда плотность нигде не падает до нуля — то есть для газа в замкнутом сосуде.
как её написали авторы, на английском arXiv:2605.17121
For the physically important case in which the viscosity coefficients depend on the density $$\rho$$ through a power law (i.e., $$\rho^\delta$$ with some exponent $$\delta \in (\frac{1}{2},1)$$), we establish the global well-posedness of regular solutions of the compressible Navier-Stokes equations for barotropic flow with large initial data of spherical symmetry in two and three spatial dimensions. The initial density considered here is positive everywhere but vanishes in the far field, ensuring that the resulting solutions satisfy the conservation laws of total mass and momentum. The most crucial step in our analysis is to obtain a uniform upper bound for the density, which is challenging due to the combined difficulties of degeneracy near the far-field vacuum, coordinate singularity at the origin, and nonlinearity of viscosity coefficients. Furthermore, the methodology developed here can also be applied to the corresponding problem in which the density remains strictly away from the vacuum.
Уравнения Навье-Стокса настолько трудны, что за доказательство существования и гладкости их решений в трёхмерном случае назначена премия в миллион долларов — это одна из семи задач тысячелетия.
В романе Станислава Лема «Солярис» океан планеты ведёт себя как жидкость с непостоянной вязкостью, подчиняясь неведомым уравнениям.