уравнение Пуазёйля

Крыло самолёта, как лыжник на трамплине, помнит свой разгон. Резко изменил угол атаки — и подъёмная сила не сразу достигает нового значения. Она нарастает постепенно, будто крыло ещё не уверено, что манёвр всерьёз. Этот эффект открыл инженер Герберт Вагнер в 1925 году. Он описал рост подъёмной силы после мгновенного изменения угла атаки, но его формула осталась без явного выражения.

Капля воды на плёнке фторполимера сначала ведёт себя как положено: лежит и испаряется. Но стоит ей уменьшиться до четверти начального размера, как она срывается с места и за доли секунды проскакивает расстояние, в несколько раз превышающее её собственный радиус. Дальше она ползёт медленно, но упорно, оставляя за собой невидимый след из электрических зарядов.

Вода, зажатая между двумя цилиндрами, при вращении внутреннего сначала течёт ровными слоями. Но стоит скорости перейти некую границу, как слои сминаются в кольцевые валики, похожие на стопку бубликов. Физики называют это вихрями Тейлора: течение теряет устойчивость, и в нём появляется регулярный узор.

Капля дождя падает на стекло и расплывается в блинчик. Добавьте в воду немного полимера — она станет упругой, как кисель. Казалось бы, такой кисель должен растекаться иначе. Но эксперименты с растворами полиэтиленоксида и полиакриламида показали: максимальный радиус пятна не меняется даже при концентрации 1000 ppm (одна тысячная доля).

Бактериальная биоплёнка похожа на город из слизи. Дома в нём — сами микробы. Улицы и мосты — длинные молекулы полимеров, которые бактерии выделяют наружу. Вся эта конструкция не застывшая: мосты то рвутся, то сшиваются заново. Авторы работы собрали «игрушечную» компьютерную модель такого города.

В огромном зале рассыпаны бильярдные шары. Сначала они лежат редко, каждый сам по себе. Потом кто-то подсыпает ещё — и вдруг шары спрессовываются в плотные островки. Это и есть фазовый переход — момент, когда вещество резко меняет своё состояние.

Поезд метро мчится по тоннелю, а пассажиры в последнем вагоне даже не покачиваются. Примерно так устроен кровоток в лёгких: сердце толкает кровь мощными толчками, но к тому моменту, когда она добирается до вен, пульсация почти исчезает. Долгое время никто не мог построить полную математическую картину этого превращения — не хватало самого важного звена, капиллярной сети.

Мозг обладает собственной системой выведения отходов: по узким периваскулярным каналам, окружающим артерии, течёт спинномозговая жидкость – ликвор. Стенки этих каналов мягкие, податливые и ритмично колеблются в такт пульсовой волне, а окружающая мозговая ткань пориста, словно губка.

Почва — не сплошная губка, а лабиринт из пор разного калибра. После дождя вода заполняет их не все сразу: сначала самые узкие, потом те, что пошире. Физики построили теорию этого процесса, взяв за основу простой образ — множество сообщающихся сосудов. Перетоки между порами подчиняются законам течения вязкой жидкости, а движущей силой служит разность химических потенциалов.

Океанское течение шириной в сотни километров живёт своей жизнью, подпитываясь энергией от крошечных водоворотов. В атмосфере происходит нечто похожее: мелкие завихрения отдают свою мощь огромным воздушным потокам. Этот процесс — обратный каскад энергии — известен давно. Но до сих пор его изучали, считая воздух абсолютно сухим, как будто в нём никогда не бывает облаков.

Поваренная соль — один из самых изученных продуктов в медицине. Десятилетиями студентов учили по модели Артура Гайтона: съел солёного — кровь разбавилась, объём временно вырос, почки тут же вывели лишнюю воду, и всё вернулось на круги своя. Стройная схема, похожая на работу поплавка в бачке унитаза.

Когда физики прогоняют электроны по сверхчистому каналу арсенида галлия при гелиевых температурах, они рассчитывают увидеть послушную, почти идеальную жидкость. Но с ростом тока сопротивление начинает капризничать: на графиках возникают горбы и провалы, упрямо не укладывающиеся в простую ньютоновскую модель.

Камень падает в пруд — и круги расходятся одинаково во все стороны. Но бывают среды, где волна словно знает, куда ей повернуть: как вода, закручивающаяся только по часовой стрелке. Такую асимметрию создают нечётная вязкость и нечётная упругость — свойства сред с нарушенной зеркальной симметрией.

Миллионы ресничек — тонких волосков — трудятся внутри крошечных протоков нашего тела. Они бьются согласованно, словно вёсла галеры, и проталкивают вязкую слизь или жидкость. Авторы новой работы предложили смотреть на ресничный ковёр как на активную пористую среду — что-то вроде губки, которая сама себя сжимает и разжимает, прогоняя воду.

Капля мёда растекается по столу медленно, вода — быстро. Сопротивление течению — вязкость — у разных жидкостей своя. Но что, если вязкость меняется прямо на лету, по мере того как вещество сжимается или расширяется?

Капля густого шампуня падает в воду и застывает причудливым жгутом. Жидкость, которая одновременно течёт и пружинит, называют вязкоупругой. В ней крошечные частицы под действием ультразвука ведут себя совсем не так, как в воде. Вязкоупругость — свойство материала одновременно растекаться как мёд и возвращать форму как резина.

Кипение кастрюли, порыв ветра, струя дыма от костра — всё это подчиняется уравнениям, которые математики называют «нелинейными и диссипативными». Проще говоря, в них энергия теряется на трение, а части потока влияют друг на друга так сильно, что предсказать движение наперёд — задача на грани возможного.

Вода, текущая в трубе, может стать ловушкой для звука. Если скорость потока превышает скорость звука в воде, то звуковые волны, пытающиеся пойти против течения, уже не могут вырваться — их уносит прочь, как свет за горизонтом черной дыры.

Пористый имплантат, заполненный лекарством, работает как губка, которая медленно отдаёт вещество в окружающую жидкость. Но если жидкость течёт быстро, она вымывает лекарство иначе, чем в спокойной среде. Авторы просчитали на компьютере, как разные скорости потока и свойства пористой структуры влияют на выход лекарства.

Дождевая капля падает в лужу, и от удара взлетает фонтанчик мелких брызг. Каждая из них — новая, вторичная капля. Сколько их, какого они размера и как долго живут, зависит от множества вещей: скорости падения, размера капли, свойств воды. Учёные решили разобраться в этом хаосе с помощью компьютерного моделирования. Они воссоздали падение одной и двух капель дождя в воду.

В пористых материалах — почве, горных породах, фильтрах — жидкости движутся через крошечные извилистые каналы. Когда в такой среде одновременно присутствуют две несмешивающиеся жидкости, например вода и воздух, граница между ними постоянно меняется: пузырьки воздуха вытесняют воду из одних пор и открывают путь другим.

Внутри почек, печени и других органов жидкость течёт по каналам, которые сжимаются и разжимаются, как шланг под ногой. Стенки этих каналов не жёсткие: они пористые, упругие и пропитаны влагой. Учёные построили простую двумерную модель, чтобы разобраться, как такая мягкая пористая крышка меняет поток, который гонят вдоль канала волны сокращений.

Если толкать тепло через кусок кварца, оно обычно идёт прямо, как вода по трубе. Но стоит включить магнитное поле, и поток слегка сворачивает вбок — будто труба вдруг дала боковое ответвление. Такой эффект называют тепловым эффектом Холла, и до сих пор не было ясно, что именно заставляет тепло отклоняться: беспорядок в кристалле или что-то более фундаментальное.

Капля масла в воде, покрытая молекулами мыла, ведёт себя не так, как голая капля. Молекулы мыла — это маленькие палочки: один конец любит воду, другой — масло. В спокойной жидкости они стоят на поверхности, как частокол, и снижают поверхностное натяжение — ту силу, что стягивает каплю в шар.

Кишечная палочка — крошечный пловец в мире, где вода густая, как кисель. Внутри нашего кишечника она не скользит свободно, а продирается сквозь слизь — запутанную сеть из длинных молекул, похожую на моток спутанных ниток.

Слёзная плёнка на глазу — тончайший слой жидкости, который защищает роговицу и сохраняет чёткость зрения. Обычно её представляют как идеально гладкую поверхность, но настоящая роговица, даже здоровая, покрыта микроскопическими неровностями.

Вода в глубоких недрах Земли сжата сильнее, чем в тысячу раз по сравнению с поверхностью. Даже там она продолжает течь, но её внутреннее устройство меняется. Исследователи измерили, как именно вода сопротивляется течению и сжатию, когда давление растёт от нуля до 1,6 гигапаскаля — это как если бы на каждый квадратный сантиметр поставили груз массой 16 тонн.

Клетка — это город с воротами. Каждые ворота — белковый канал в мембране: через него внутрь и наружу проходят ионы, сахара, сигнальные молекулы. Одни ворота почти всегда открыты, другие открываются и закрываются случайно, как двери в метро, которые то пропускают пассажира, то захлопываются перед носом.

Слой клеток, выстилающий внутренние органы, похож на очередь в переполненном метро: все стоят вплотную, но иногда толпа начинает течь, и люди проскальзывают мимо друг друга. Биологи называют такое поведение переходом от застрявшего, твёрдого состояния к текучему. До сих пор считалось, что ключ к этому — форма клеток: если клетки становятся более вытянутыми, ткань разжижается.

Лимфатическая система — как городская сеть каналов, по которой медленно движется вода, унося мусор из тканей. Но у неё нет единого насоса-сердца. Вместо этого по длине сосудов расставлены маленькие станции-шлюзы — лимфангионы. Каждый такой шлюз сжимается сам, как кулак, и проталкивает жидкость дальше. Как они согласуют свою работу, долго оставалось загадкой.

Густой мёд медленно растекается по тарелке. В таком мире, где трение подавляет инерцию, движение управляется не силой, а вязкостью. Именно так ведут себя многие мягкие материалы: полимерные гели, коллоидные суспензии, содержимое живых клеток.

Сверхтекучая жидкость течёт без трения, как вода в идеально гладкой трубе, но стоит ей встретить препятствие, и картина меняется. В новой работе рассмотрели, как сверхтекучий поток огибает прямоугольные стенки и ямы с острыми углами. Оказалось, что у самых углов скорость течения резко подскакивает — как воздух у крыла самолёта, только сильнее.

Нагретая снизу кастрюля с водой — простой пример турбулентности. Горячая жидкость поднимается, холодная опускается, и поток сам собой разбивается на вращающиеся ячейки, похожие на горизонтальные рулоны. В новой работе физики взяли широкую прямоугольную ёмкость (в десять раз длиннее своей высоты) и проследили, сколько таких рулонов возникает.

На снимке лёгких видно дерево: ствол — трахея, ветви — бронхи, листья — альвеолы. Но как воздух растекается по этим ветвям? Учёные построили компьютерную модель, которая повторяет форму лёгких по изображениям компьютерной томографии. Крупные ветви взяли прямо со снимков, а мелкие дорисовали по правилам, как растёт настоящее дерево.

Плазма — это газ, в котором электроны оторваны от атомов, и он проводит электричество. В космосе такой газ часто настолько разрежен, что частицы почти не сталкиваются, и его поведение описывают уравнениями движения каждой частицы. Компьютерный метод Particle-in-Cell (PIC) так и делает: следит за миллионами частиц и электрическими полями, которые они создают. Но космос не стоит на месте.

Ядро атома — не твёрдый шарик, а капля жидкости, которую можно сжать. Чтобы понять, насколько она упругая, физики разгоняют ядра золота и бьют их друг о друга. При ударе вещество сжимается до плотностей, как в нейтронной звезде, а затем разлетается. По форме этого разлёта можно судить о свойствах материи внутри.

Вода в кольцевом шланге, по которому гоняет насос, не остановится, даже если пережать один участок: поток найдёт обходной путь и продолжит бежать по кругу. Примерно так устроены некоторые участки нашей кровеносной системы — не как одиночные трубы, а как замкнутые петли. Учёные построили компьютерную модель тока крови и сравнили два случая: открытый сосуд и замкнутое кольцо.

В аппарате искусственного кровообращения кровь течёт через узкие трубки и быстро вращающиеся лопасти насоса. Иногда красные клетки не выдерживают: их оболочка лопается, и гемоглобин вытекает в плазму. Для пациента это как если бы в топливную систему автомобиля подсыпали песок — мелкие повреждения накапливаются и портят весь механизм.

Бактерии в капле воды толкаются и плывут — каждая сама по себе, но вместе они создают узоры. При слабом движении жидкость бурлит, как суп на сильном огне: вихри сталкиваются, направление течения меняется каждую секунду. Это называют бактериальной турбулентностью.

Соль в стакане воды — это толпа заряженных частиц. Пока воды много, каждая частица плавает сама по себе, окружённая плотной шубой из молекул воды. Но если сыпать соль дальше, воды на всех перестаёт хватать, и частицы начинают искать друг друга. Сначала они сцепляются в пары, потом в клубки побольше.