Бросили горсть фосфора в кремний — и при некоторой концентрации примеси материал вдруг начинает проводить ток. Это фазовый переход металл-изолятор, и он происходит скачком. Но что именно меняется в волновых функциях электронов, когда изолятор становится металлом? Ответ можно вытащить из того, как вещество поглощает свет.

Авторы работы взяли оптическую проводимость — насколько сильно переменное электрическое поле раскачивает заряды — и вычислили её первый отрицательный момент. Эта величина, словно чуткий динамометр, измеряет квантовую геометрию: насколько «размазаны» локальные волновые функции электронов. Получается длина ℓ — характерный размер области, где электрон ещё остаётся самим собой. Вдали от перехода, когда донорные атомы фосфора сидят поодиночке, ℓ почти в точности равна боровскому радиусу. Это примерно 2 нанометра, как у одинокого атома водорода.

По мере приближения к критической концентрации примеси длина ℓ растёт. Но вместо плавного увеличения, как у корреляционной длины (типичного расстояния, на котором затухают флуктуации), она делает рывок: прямо в точке перехода уходит в бесконечность. Это значит, что электронные состояния внезапно делокализуются по всему образцу. Такой скачок — следствие того, что в трёхмерном случае основной вклад в сумму дают ультрафиолетовые, то есть очень быстрые, процессы, а не медленные критические флуктуации. Квантовая геометрия оказывается «близорукой» к медленным танцам зарядов вблизи перехода.

Этот результат не только даёт новый экспериментальный щуп для квантовой геометрии в неупорядоченных системах, но и проливает свет на столетний критерий Херцфельда: когда поляризуемость атомов (способность электронного облака деформироваться) достигает критического значения, вещество обязано стать металлом. Квантово-геометрическая поправка к уравнению Клаузиуса-Моссотти, описывающему диэлектрический отклик, делает его точнее — словно старый рецепт наконец-то получил недостающую специю. Оказывается, «распухание» поляризуемости доноров, вызванное квантовой геометрией, и ведёт к расходимости диэлектрической проницаемости, а с ней — к рождению металла.