квадратный корень

Описание

Квадратный корень из числа x — это значение, которое при умножении само на себя даёт x. Например, квадратный корень из 9 равен 3, потому что 3 × 3 = 9. Это одна из самых фундаментальных операций в математике, встречающаяся в формулах по всей физике: от теоремы Пифагора (c = √(a² + b²)) до среднеквадратичной скорости молекул газа и стандартного отклонения в статистике.

История

Концепция восходит к древним вавилонянам (около 1800 г. до н. э.), у которых был метод приближённого вычисления квадратных корней. Символ √ был введён Кристофом Рудольфом в 1525 году.

Как это работает

Квадратный корень — это операция, обратная возведению в квадрат. Для положительных чисел существуют два корня (положительный и отрицательный), но главный квадратный корень — положительный. Его можно вычислить с помощью различных алгоритмов, таких как вавилонский метод (итеративное усреднение) или с использованием логарифмов и экспонент в калькуляторах.

Где применяется

Используется практически во всех количественных науках: для вычисления расстояний, стандартных отклонений, амплитуд волн, а также в алгоритмах, таких как метод наименьших квадратов.

Любопытный факт

Квадратный корень из 2 иррационален, то есть его нельзя выразить в виде дроби двух целых чисел — открытие, которое, как сообщается, потрясло пифагорейцев.

Граф понятий →

Формулы

$$D(\psi_1, \psi_2) = \sqrt{1 - |\langle\psi_1|\psi_2\rangle|^2}$$

Расстояние между квантовыми состояниями, основанное на их перекрытии.

Что в формуле

D	переменная	расстояние между квантовыми состояниями — quantum distance
ψ1	переменная	первое квантовое состояние — волновая функция
ψ2	переменная	второе квантовое состояние — волновая функция
⟨ψ1\|ψ2⟩	оператор	вычисляет комплексную амплитуду одного состояния в другом — inner product
\|·\|	оператор	даёт модуль комплексной амплитуды — абсолютная величина
√	оператор	извлекает неотрицательный корень — квадратный корень

$$T \approx \exp\left(-2\int_{z_1}^{z_2} \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}(V(z)-E)}\, dz\right)$$

Приближённая вероятность квантового туннелирования через барьер.

Что в формуле

T	переменная	вероятность туннелирования — transmission probability
z1	переменная	левая точка поворота барьера — положение м
z2	переменная	правая точка поворота барьера — положение м
m	переменная	масса туннелирующей частицы — масса кг
V	переменная	потенциальная энергия как функция координаты — потенциальная энергия Дж
E	переменная	энергия частицы — энергия Дж
ħ	константа	фундаментальный квант действия, делённый на 2π — приведённая постоянная Планка = 1.054571817e-34 Дж·с
∫	оператор	суммирует подынтегральное выражение по интервалу — интеграл
√	оператор	берёт неотрицательный корень — квадратный корень
exp	оператор	возводит e в заданную степень — exponential

$$H(z) = H_0 \sqrt{\Omega_m(1+z)^3 + \Omega_r(1+z)^4 + \Omega_k(1+z)^2 + \Omega_\Lambda + \Omega_x f(z)}$$

Описывает скорость расширения Вселенной.

Что в формуле

H	переменная	параметр Хаббла — hubble parameter 1/с
z	переменная	красное смещение — красное смещение
H0	переменная	постоянная Хаббла — постоянная Хаббла 1/с
Ωm	переменная	параметр плотности вещества — density parameter
Ωr	переменная	параметр плотности излучения — density parameter
Ωk	переменная	параметр плотности кривизны — density parameter
ΩΛ	переменная	параметр плотности космологической постоянной — density parameter
Ωx	переменная	параметр плотности тёмной энергии (общий) — density parameter
f(z)	переменная	функция уравнения состояния тёмной энергии — функция уравнения состояния
sqrt	оператор	квадратный корень — квадратный корень

$$\text{ASD}(f) = \sqrt{S(f)}$$

АСП — это квадратный корень из спектральной плотности мощности.

Что в формуле

\text{ASD}(f)	переменная	Амплитудная спектральная плотность на частоте f — amplitude spectral density per root hertz
S(f)	переменная	Спектральная плотность мощности на частоте f — спектральная плотность мощности 1/Гц
f	переменная	Частота — частота Гц
\sqrt{}	оператор	Математическая операция извлечения квадратного корня — квадратный корень

$$P = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{GM}}$$

Квадрат периода обращения пропорционален кубу большой полуоси.

Что в формуле

P	переменная	период обращения — period с
a	переменная	большая полуось орбиты — длина м
M	переменная	масса центрального тела — масса кг
G	константа	гравитационная постоянная — гравитационная постоянная = 6.67430e-11 м³/(кг·с²)
sqrt	оператор	извлекает квадратный корень — квадратный корень

$$d = \sqrt{(x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2}$$

Евклидово расстояние измеряет расстояние по прямой между двумя точками.

Что в формуле

d	переменная	Евклидово расстояние — расстояние м
x₁	переменная	x-координата точки 1 — coordinate м
x₀	переменная	x-координата точки 0 — coordinate м
y₁	переменная	y-координата точки 1 — coordinate м
y₀	переменная	y-координата точки 0 — coordinate м
√	оператор	извлекает квадратный корень из суммы — квадратный корень

квадратный корень

Описание

История

Как это работает

Где применяется

Любопытный факт

Формулы

Статьи по теме · 0