En 1935, Einstein, Podolsky y Rosen propusieron un experimento mental que, según ellos, revelaba la incompletitud de la mecánica cuántica. Dos partículas se separan tras interactuar, y medir el momento de una de ellas proporciona al instante un conocimiento exacto del momento de la otra. Parecería que se puede conocer también la posición de la segunda partícula sin perturbarla, y así eludir el principio de incertidumbre de Heisenberg. El paradox EPR sirvió durante décadas como piedra de toque para las interpretaciones de la teoría cuántica.

La clave del paradox se esconde en la lógica de la predicción. La predicción del momento de la segunda partícula tras medir el momento total no es un número, sino una función con valores operadoriales: su valor en cada resultado de medición es a su vez un operador, no una magnitud ordinaria. Esta esperanza condicional cuántica, introducida en el trabajo, tiene en cuenta cuidadosamente que medir un observable no convierte a otro en una variable clásica. Es como la sombra del valor medido: reproduce su forma, pero vive en el mundo cuántico de los operadores.

El autor compara dos enfoques: la esperanza condicional cuántica y el estado post-medición de von Neumann. El segundo método consiste en proyectar el estado inicial sobre el subespacio correspondiente al valor medido y normalizar el resultado. En el límite, cuando el intervalo de precisión de la medición tiende a cero, ambos enfoques dan la misma predicción. Para un estado entrelazado gaussiano en la representación de momentos, la media condicional y la varianza se calculan analíticamente, y la predicción del momento de la segunda partícula resulta ser p − p1 con probabilidad 1. Aquí p es el momento total medido y p1 es el momento de la primera partícula.

Cuando se mide con precisión el sistema completo de observables, la naturaleza estadística del sistema desaparece: la densidad de probabilidad se convierte en una función delta en el punto de observación. Sin embargo, ese límite no corresponde a ningún vector de estado en el espacio de Hilbert. Para una precisión finita de la medición, la relación de incertidumbre de Heisenberg se cumple: el producto de las incertidumbres de posición y momento de la segunda partícula no es menor que ħ/2. El paradox EPR se resuelve no con un truco, sino con un esquema probabilístico riguroso que muestra: el conocimiento exacto del momento de una partícula no proporciona un conocimiento exacto de la posición de la otra.

El trabajo aclara la estructura lógica de la mecánica cuántica. Muestra que el paradox EPR surge de ignorar la naturaleza operadorial de las esperanzas condicionales. Aún no se vislumbran aplicaciones prácticas, pero el resultado es importante para la interpretación de las mediciones en sistemas entrelazados y para la teoría cuántica de la información. En el futuro, es posible generalizar a observables más complejos y mediciones imprecisas, así como aplicar las esperanzas condicionales cuánticas a problemas de estimación de parámetros cuánticos y control cuántico.