Tira un puñado de arena al suelo: hay pocos granos grandes, muchos pequeños y aún más diminutos. Este sesgo, en el que los eventos pequeños ocurren con frecuencia y los grandes rara vez, se describe mediante una ley de potencias. Aparece en el tamaño de las ciudades, la fuerza de los terremotos y el número de citas de artículos científicos.
Para entender de dónde surge esta ley, los físicos tomaron el modelo más simple: bolas sólidas que chocan e intercambian energía. En equilibrio, sus velocidades siguen otra ley: la curva en forma de campana de Maxwell-Boltzmann. Pero si las bolas apenas comienzan a acelerarse, o si se introducen constantemente nuevas partículas rápidas en el sistema, el panorama cambia: las energías se alinean en una dependencia de ley de potencias.
La condición clave es la ausencia de una escala característica. En equilibrio, el sistema tiene una energía típica alrededor de la cual se agrupa todo. Lejos del equilibrio, ese punto no existe: las energías pueden ser cualesquiera, y esto genera autosimilitud: una pequeña porción del gráfico se parece a todo el gráfico. Esa autosimilitud es la que vemos en una costa recortada o en un árbol ramificado.
La apertura también es importante. Si se añaden constantemente partículas con diferentes energías, el sistema no tiene tiempo de alcanzar el equilibrio y permanece en un estado intermedio donde opera la ley de potencias. El exponente depende solo de la rapidez con que se añaden las partículas, no de los detalles de sus colisiones. Por eso tantos sistemas diferentes, desde el polvo hasta las galaxias, obedecen la misma ley.
La ley de potencias describe la frecuencia de las palabras en un idioma: la segunda palabra más frecuente aparece aproximadamente la mitad de veces que la primera, la tercera, un tercio, y así sucesivamente. Esta es la ley de Zipf, descubierta a partir del Ulises de Joyce.