ecuación

Ecuaciones de Friedmann

The Friedmann equations are the set of differential equations governing the expansion dynamics of a homogeneous and isotropic universe.
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Descripción

Imagina que el Universo es un globo gigante en el que viven las galaxias. Las ecuaciones de Friedmann son las instrucciones de cómo este globo se infla o desinfla con el paso del tiempo. Dicen: «Si sabes cuánta materia y energía hay dentro, puedes predecir a qué velocidad se expande el globo e incluso si se expandirá para siempre o volverá a colapsar». Estas ecuaciones son la base de las ideas modernas sobre el Big Bang.

Historia

Alexander Friedmann en 1922 encontró por primera vez soluciones no estacionarias de la relatividad general, prediciendo la expansión del Universo. Einstein inicialmente las rechazó, pero luego reconoció su acierto. Georges Lemaître en 1927 derivó independientemente las mismas ecuaciones y fue el primero en relacionarlas con observaciones astronómicas, señalando una dependencia lineal de la velocidad con la distancia. En 2011, Saul Perlmutter, Brian Schmidt y Adam Riess demostraron la expansión acelerada, confirmando el papel del término Λ.

Cómo funciona

Las ecuaciones de Friedmann sirven como base del modelo cosmológico estándar ΛCDM. Permiten, conociendo los parámetros actuales (constante de Hubble, fracciones de materia, radiación y energía oscura), reconstruir la historia del Universo desde el Big Bang hasta el futuro. El límite de aplicabilidad son escalas mayores de ~100 Mpc, donde el Universo es realmente homogéneo; a escalas menores la estructura es no homogénea y se requiere considerar perturbaciones.

Dato curioso

El propio Alexander Friedmann era matemático y meteorólogo. Le encantaba resolver ecuaciones complejas e incluso participó en el lanzamiento de globos estratosféricos. Su audacia al aplicar la relatividad general a todo el Universo inicialmente no le gustó a Einstein, quien entonces creía en un Universo eterno e inmutable.

Concept graph →

Fórmulas

$$H(z) = H_0 \sqrt{\Omega_m(1+z)^3 + \Omega_r(1+z)^4 + \Omega_k(1+z)^2 + \Omega_\Lambda + \Omega_x f(z)}$$
Describes expansion rate of the universe.
Qué hay en la fórmula
HvariableHubble parameter — hubble parameter per second
zvariableredshift — corrimiento al rojo
H0variableHubble constant — constante de Hubble per second
Ωmvariablematter density parameter — density parameter
Ωrvariableradiation density parameter — density parameter
Ωkvariablecurvature density parameter — density parameter
ΩΛvariablecosmological constant density parameter — density parameter
Ωxvariabledark energy density parameter (general) — density parameter
f(z)variabledark energy equation-of-state function — función de ecuación de estado
sqrtoperadorsquare root — raíz cuadrada
h(z)=h_0\sqrt{ω_m(1+z)^3+ω_\lambda+ω_x\exp(-3\int_0^z\frac{1+w(z')}{1+z'}dz')} · 2601.06656
\frac{a'^2}{a^2}-\frac{1}{a^2}+\frac{1}{3m_p^2}(v(φ)-\frac{φ'^2}{2})-\frac{\tilde{ρ}_i}{a^{n_i}}=0 · 2605.13777v2
(\frac{\dot{a}}{a})^2=\frac{\kappaρ(v)}{3}+\frac{\kappaρ_f(v)}{3} · 2605.15045v1
h^2=\frac{1}{3}(\frac{1}{2}\dot{φ}^2+\frac{1}{2}\dot{\varphi}^2+\frac{1}{2}b(φ,\varphi)\dot{φ}\dot{\varphi}+v_{ic}(φ,\varphi)+β^4(φ)(ρ_m+ρ_r)) · 2605.15374v1
$$\Omega_M + \Omega_\Lambda + \Omega_k = 1$$
The sum of all density parameters equals one in cosmology.
Qué hay en la fórmula
Ω_MvariableMatter density parameter (including baryonic and dark matter) — density parameter
Ω_ΛvariableCosmological constant (dark energy) density parameter — density parameter
Ω_kvariableCurvature density parameter — density parameter
ω_m^{\mathcal{d}}+ω_\lambda^{\mathcal{d}}+ω_r^{\mathcal{d}}+ω_q^{\mathcal{d}}=1 · 2605.05454v1
$$\frac{d\rho}{dt} = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho] + \sum_n \left( L_n \rho L_n^\dagger - \frac{1}{2} \{ L_n^\dagger L_n, \rho \} \right)$$
Describes open quantum system evolution with dissipation.
Qué hay en la fórmula
ρvariabledensity matrix of the open quantum system — matriz de densidad
tvariabletime — tiempo second
HvariableHamiltonian of the system — hamiltoniano joule
L_nvariableLindblad operators (jump operators) for each dissipation channel — lindblad operator
iconstanteimaginary unit, square root of -1 — unidad imaginaria = 1
ħconstantePlanck constant divided by 2π — constante de Planck reducida = 1.054571817e-34 joule second
d/dtoperadorderivative with respect to time — derivada temporal
[H, ρ]operadorcommutator of H and ρ — conmutador
{L_n† L_n, ρ}operadoranticommutator of L_n† L_n and ρ — anticommutator
∑_noperadorsum over all dissipation channels — sum over channels
\frac{dρ}{dt}=-\frac{i}{ħ}[h_0,ρ]+2γ(\barn+1)\mathcal{d}[b]ρ+2γ\barn\mathcal{d}[b^\dagger]ρ+2k\mathcal{d}[f(x)]ρ · 2505.01942v2
l_{{rot}}\hat{σ}=-\frac{1}{2ħ^2}\intd^3xd^3yd^{kl}_a(\vec{x},\vec{y})χ_{ki;lm}(\vec{x},\vec{y})[\hat{l}_i,[\hat{l}_m,\hat{σ}]] · 2605.12172v1
\frac{dρ}{dt}=-\frac{i}{ħ}[h,ρ]+\sum_k(l_kρl_k^\dagger-\frac{1}{2}\{l_k^\daggerl_k,ρ\}) · 2607.09247

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