En 1914, el físico neerlandés Adriaan Fokker investigó el movimiento browniano, y tres años después, Max Planck dedujo la ecuación general que lleva sus nombres. Es una herramienta central de la teoría de procesos estocásticos. Si la ecuación de Boltzmann trata de miles de millones de partículas que colisionan, la de Fokker-Planck se ocupa de una sola bajo una lluvia de impactos. Describe cómo la probabilidad de encontrar una partícula en una región determinada se suaviza y se desplaza, como una gota de tinta que se difumina en el agua corriente. El miembro izquierdo es el cambio de probabilidad; el derecho, la suma del arrastre (corriente) y la difusión (dispersión). En matemática financiera se la llama ecuación de Black-Scholes y ayuda a valorar opciones. La gota se convierte en una nubecilla borrosa, de manera predecible e inevitable.
Historia
En 1914, Adriaan Fokker dedujo un caso particular para el movimiento browniano rotacional. En 1917, Max Planck generalizó la ecuación en su trabajo «Sobre la teoría de los fenómenos de fluctuación». Más tarde, Andréi Kolmogórov le dio en 1931 una base matemática rigurosa. La ecuación penetró en la economía, la biología y la óptica cuántica, convirtiéndose en el lenguaje universal de los procesos aleatorios.
Cómo funciona
La densidad de probabilidad p(x,t) es arrastrada por una fuerza determinista (coeficiente μ) y se difumina por empujones aleatorios (coeficiente D). Se aplica al análisis de procesos difusivos, en radiofísica (ruido de disparo), biofísica (canales iónicos) y economía (modelos de valoración de opciones). Limitaciones: es válida para procesos de Markov sin memoria; con ruidos no gaussianos intensos se requieren generalizaciones (ecuación de Kolmogórov-Feller).
En la práctica
Se usa para modelar ruido en circuitos electrónicos, la dinámica de los precios de las acciones y el movimiento de micropartículas en trampas.
Dato curioso
Max Planck utilizó esta ecuación para investigar las fluctuaciones en sistemas cuánticos, sentando las bases de la dinámica estocástica cuántica.
Una aspiradora succiona el polvo incluso si hay más cerca de la boquilla. Así ocurre en un tokamak: las partículas de plasma se concentran hacia el centro, aunque su densidad sea mayor en el borde. Este fenómeno se denomina pellizco de partículas y contradice la regla habitual de que todo tiende a moverse de las zonas densas a las menos densas.
El agua confinada entre dos cilindros, cuando el interno gira, primero fluye en capas uniformes. Pero en cuanto la velocidad supera cierto límite, las capas se pliegan en anillos, como una pila de rosquillas. Los físicos llaman a esto vórtices de Taylor: el flujo pierde estabilidad y aparece un patrón regular.
La quimioterapia golpea el cáncer como una ducha potente contra un plato sucio: el chorro arrastra casi todo, pero en las grietas quedan restos. Los modelos antiguos decían que si se hacía la presión lo suficientemente fuerte, el plato quedaría perfectamente limpio. El nuevo trabajo muestra que no es así.
La cadena proteica se pliega en una herramienta funcional en fracciones de segundo, y casi nunca se equivoca. Durante mucho tiempo se pensó que la evolución pulía específicamente las secuencias de aminoácidos para que la proteína no solo funcionara, sino que también encontrara fácilmente su forma única. Un nuevo trabajo da la vuelta a esta idea.
Se suele pensar que un agujero negro es una aspiradora cósmica despiadada que succiona todo sin distinción. Pero una nueva investigación da vuelta la imagen: cerca del horizonte, la curvatura se convierte de trampa en trampolín.
El universo temprano se expandía a una velocidad inimaginable, más rápido de lo que la luz habría podido cruzarlo. En ese hervidero, cualquier región del espacio era como un bote de pintura abierto: sus fronteras capturaban continuamente nuevo "vapor" del exterior, mientras parte de su contenido se escapaba irremediablemente.
El tiempo en física se parece a un director que marca el ritmo a toda la orquesta. Pero en el mundo cuántico no hay una batuta única: cada partícula puede vivir según su propio reloj. Normalmente simplificamos el panorama y asumimos que el tiempo fluye igual para todos.
Un imán común siempre tiene dos polos: norte y sur. Si lo partes por la mitad, cada fragmento adquiere inmediatamente su propio par. Pero en lo profundo de la teoría de partículas habita una imagen extraña: el monopolo, una partícula que lleva una sola carga magnética, un polo solitario sin compañero.
Si echas arena en un vaso, se asienta en una capa uniforme. Pero en lugar de arena, tomemos partículas diminutas de gas: en un campo gravitatorio no solo caen, cada grano se desplaza por su trayectoria, choca con sus vecinas, y todo ese ajetreo genera presión. Añade los efectos de la relatividad y la imagen familiar cambia sutilmente.
Cerca de los agujeros negros y las estrellas de neutrones, el plasma burbujea como el agua en una tetera hirviendo. Pero en esta 'tetera' no hay paredes, solo campos magnéticos que se retuercen y se rompen.
Tira un puñado de arena al suelo: hay pocos granos grandes, muchos pequeños y aún más diminutos. Este sesgo, en el que los eventos pequeños ocurren con frecuencia y los grandes rara vez, se describe mediante una ley de potencias. Aparece en el tamaño de las ciudades, la fuerza de los terremotos y el número de citas de artículos científicos.
Una red neuronal que aprende algo nuevo se parece a un caminante en una región montañosa. Cada conocimiento asimilado es una depresión en el terreno hacia la que el caminante rueda y en la que se queda atrapado. Para salir y llegar a una nueva hondonada, se necesita energía.
El plasma es un gas en el que los electrones se han separado de los átomos y que conduce la electricidad. En el espacio, este gas suele estar tan enrarecido que las partículas casi no chocan entre sí, y su comportamiento se describe mediante las ecuaciones de movimiento de cada partícula.
La ecuación de difusión es una foto borrosa de una multitud de partículas: en ella, una perturbación se extiende instantáneamente por todo el Universo, desafiando la teoría de la relatividad. El misterio se agravaba por su conexión con el aumento de la entropía (medida del desorden).
Las bacterias en una gota de agua se empujan y nadan, cada una por su cuenta, pero juntas crean patrones. Con movimiento débil, el líquido burbujea como una sopa a fuego fuerte: los remolinos chocan y la dirección de la corriente cambia cada segundo. Esto se llama turbulencia bacteriana.
Deje caer miel sobre una esponja. Esta se desliza perezosamente, rodeando los huecos. Pero si la miel se vuelve más líquida al presionarla, el flujo será más astuto. Un líquido con espesor variable en un laberinto irregular de poros es un problema que no se había podido calcular. Los autores del nuevo trabajo promediaron el caos de los microcanales en ecuaciones sencillas.
Un tubo vertical con expansión repentina es un campo de pruebas clásico para la turbulencia. El flujo de aire, girado como un remolino, irrumpe en una cámara ancha y genera vórtices, corrientes de retorno y zonas donde partículas de vidrio de 45 μm de diámetro, la mitad del grosor de un cabello, se mueven en trayectorias complejas.
