Una orquesta toca sin director y se oye que el tempo se acelera y se ralentiza. Solo se tiene la grabación del sonido, no la partitura. ¿Se puede deducir de esa grabación qué cuerda hay que tocar para que toda la orquesta suene más uniforme? Algo parecido se preguntan los científicos que estudian los sistemas complejos: el clima, la turbulencia, los ritmos biológicos. Solo ven una serie temporal de observaciones, mientras que las ecuaciones que gobiernan el sistema permanecen ocultas.

El enfoque clásico exigía conocer esas ecuaciones, pero para el clima real o un organismo vivo no se pueden escribir. Por eso, los autores del trabajo construyen un modelo aproximado directamente a partir de los datos: mediante un suavizado kernel convierten la trayectoria observada en una cadena de Markov finita que aproxima el operador de Koopman (un objeto matemático que describe la evolución de las funciones de estado). Si las observaciones son incompletas, se aplica el retardo de Takens, que reconstruye las variables ocultas a partir de una sola magnitud medida, igual que la forma de un objeto se adivina por su sombra en la pared.

A continuación se plantea un problema de optimización: encontrar una matriz de perturbación con sumas de filas nulas y restricciones sobre las transiciones permitidas que maximice la derivada del módulo o del argumento de un autovalor elegido. La solución se obtiene mediante una fórmula explícita que usa los autovectores izquierdo y derecho. Para visualizarla, se construye un campo vectorial de respuesta óptima: indica en qué dirección hay que actuar en cada punto del espacio de observaciones.

En el ejemplo de la rotación no uniforme de un círculo, la perturbación óptima para acelerar el ciclo resulta ser tangente a la trayectoria e inversamente proporcional a la velocidad actual: donde el movimiento es lento, el empujón debe ser más fuerte. En el sistema de Lorenz, la perturbación que acelera la rotación alrededor de las alas es ortogonal a las líneas de nivel del argumento del autovector complejo, no a la dirección del flujo. En el ejemplo climático de El Niño, la perturbación óptima para aumentar la frecuencia se adelanta al ciclo en un cuarto de período, mientras que para reforzar las correlaciones va en fase. Se ha encontrado una relación con la fase del dipolo del océano Índico: IOD negativo durante la acumulación de El Niño y positivo durante La Niña.

Antes no estaba claro cómo encontrar la mejor perturbación pequeña para un sistema no lineal cuando solo se dispone de datos observacionales y las ecuaciones dinámicas son inaccesibles. Ahora se puede calcular la perturbación óptima que maximiza el cambio en la frecuencia o la estabilidad de casi-ciclos y conjuntos casi-invariantes, directamente a partir de la serie temporal. El método puede aplicarse en climatología para evaluar la influencia de factores externos en El Niño y en el control de sistemas caóticos, donde los experimentos son imposibles o demasiado costosos.

Volviendo a la orquesta: ahora, con una simple grabación, se puede decir qué instrumento y en qué momento hay que empujar para que el tempo se estabilice. Y aunque un director real sigue siendo necesario para la interpretación, las matemáticas le ofrecen un mapa preciso de las posibles intervenciones.