La ville est dessinée sur une feuille de papier. Les rues sont les mêmes, les intersections sont à leur place, mais les distances entre les quartiers ont soudainement changé. C'est ainsi qu'apparaît le trou noir tridimensionnel BTZ en gravité modifiée : la métrique, la carte de la ville, reste la même, mais la constante cosmologique, qui fixe l'échelle, reçoit des corrections.

Le trou BTZ est une solution des équations d'Einstein dans un espace-temps de dimension 2+1 avec une constante cosmologique négative. Il n'a pas de singularité de courbure au centre et sert donc de modèle « jouet » idéal pour tester les théories de la gravité. Les auteurs ont pris la métrique du trou BTZ en rotation et l'ont insérée dans les équations de champ de deux théories : la gravité avec tenseur de Ricci inverse (classe générale f(R, A, AμνAμν)) et la gravité f(R). Pour la première, ils ont dû calculer le tenseur de Ricci inverse, l'anti-tenseur de courbure, sa trace et l'invariant quadratique. Résultat : les deux théories admettent la solution BTZ, mais la constante cosmologique effective change.

La formule de la constante cosmologique effective en gravité avec tenseur de Ricci inverse est la suivante :

\[\Lambda_m = \Lambda - 6\alpha_1 \Lambda^2 - 108\alpha_2 \Lambda^3 + \frac{5\beta_1}{4\Lambda} + \frac{15\beta_2}{8\Lambda^2} + \frac{7\gamma}{8\Lambda^2}.\]

Ici, Λ est la constante cosmologique d'origine, et α₁, α₂, β₁, β₂, γ sont les constantes de couplage. Dans la limite où les constantes sont nulles, la formule se réduit à Λ, comme il se doit. En gravité f(R), seuls les termes avec α₁ et α₂ contribuent aux corrections.

Ensuite, les auteurs ont intégré les équations des géodésiques, c'est-à-dire les trajectoires des particules en chute libre, pour trois cas : masse et moment angulaire non nuls, masse et moment nuls, et le cas M = −1, J = 0 (type AdS₃). Les solutions sont exprimées en fonctions hyperboliques, exponentielles et trigonométriques. Le potentiel effectif, qui détermine la barrière pour le mouvement des particules, change notablement : pour des constantes de couplage non nulles, la barrière peut disparaître ou se déplacer, ce qui modifie les conditions de capture des particules.

Ce travail vérifie pour la première fois la survie du trou noir tridimensionnel dans une théorie avec tenseur de Ricci inverse. On ignorait auparavant si l'espace BTZ restait une solution dans une telle gravité et comment les géodésiques changeaient. On montre maintenant que la métrique est une solution de vide dans les deux théories, mais avec une constante cosmologique modifiée ; des formules explicites pour les trajectoires des particules sont obtenues. La méthode est simple : on a inséré la métrique connue dans les nouvelles équations de champ, calculé le tenseur de Ricci inverse et intégré les équations du mouvement.

Pour la gravité quantique en 2+1 dimensions, c'est important : le trou BTZ est un modèle clé pour l'holographie, et sa survie dans les théories modifiées ouvre la voie à des tests de la correspondance AdS/CFT au-delà de la relativité générale. Les résultats peuvent être utilisés pour tester les théories de gravité modifiée dans des modèles tridimensionnels et pour construire des duals holographiques.

La carte de la ville reste la même, mais les distances ont changé. Il faut maintenant comprendre comment cela affecte la thermodynamique du trou noir, sa stabilité et ses propriétés quantiques.