concept

courbure de l'espace-temps

Spacetime curvature is the warping of space and time by mass and energy, as in gravity.
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Description

L'idée clé de la relativité générale : la gravitation est une courbure de l'espace-temps par les corps massifs. La géométrie est décrite par le tenseur métrique g_μν, qui détermine comment se mesurent les distances et les intervalles de temps. En présence de masse et d'énergie, il s'écarte de la métrique plate η_μν, créant une courbure. Les équations d'Einstein G_μν = (8πG/c⁴) T_μν relient la courbure à la distribution d'énergie et d'impulsion. Conséquences : déviation des rayons lumineux, décalage vers le rouge gravitationnel, trous noirs, ondes gravitationnelles.

Histoire

La maturation des idées est allée de la géométrie non euclidienne de Gauss, Lobatchevski, Riemann aux tentatives d'Henri Poincaré (1905) d'unifier l'espace et le temps. Einstein a développé le principe d'équivalence en 1907–1915 et a maîtrisé l'analyse tensorielle avec l'aide de Marcel Grossmann. La percée décisive eut lieu en novembre 1915, quand Einstein trouva les bonnes équations du champ. La première confirmation fut obtenue en 1919 par Arthur Eddington avec la déviation de la lumière des étoiles.

Comment ça marche

La masse et l'énergie courbent l'espace-temps selon les équations d'Einstein. Les géodésiques — généralisation des lignes droites — sont les lignes d'univers des particules en chute libre. Les forces de marée reflètent l'inhomogénéité de la courbure : elles étirent les corps le long de la direction radiale et les compriment transversalement. À la limite de la courbure forte, se forment des trous noirs et des singularités. Le principe d'équivalence affirme l'indiscernabilité locale de la gravitation et de l'accélération.

En pratique

Sans tenir compte de cette courbure, la navigation GPS se tromperait de centaines de mètres par jour, et les télescopes ne voient les galaxies lointaines que parce que la courbure agit comme une lentille géante, amplifiant la lumière.

Anecdote

La déviation totale de la lumière des étoiles lointaines par le Soleil lors de l'éclipse de 1919 était d'environ 1,75 seconde d'arc — exactement la prédiction d'Einstein, ce qui fit de lui une célébrité mondiale.

Concept graph →

Formules

$$K = R_{\mu\nu\lambda\rho} R^{\mu\nu\lambda\rho}$$
Invariant measure of spacetime curvature.
Ce qu'il y a dans la formule
KvariableKretschmann scalar — kretschmann scalar metre to the minus 4
R_{\mu\nu\lambda\rhovariableRiemann curvature tensor components — riemann curvature tensor metre to the minus 2
R^{\mu\nu\lambda\rhovariableRiemann tensor with raised indices — riemann curvature tensor metre to the minus 2
sum over repeated inopérateursums over all index values — einstein summation
k=r_{μνλρ}r^{μνλρ} · 2605.00780v1
$$f(r) = 1 - \frac{2GM}{c^2 r} + \frac{G k_e Q^2}{c^4 r^2}$$
Describes spacetime around a charged non-rotating mass.
Ce qu'il y a dans la formule
rvariableRadial coordinate from the center — radial distance metre
f(r)variableMetric function determining spacetime geometry — metric function
GconstanteNewtonian constant of gravitation — constante gravitationnelle = 6.67430e-11 cubic metre per kilogram per second squared
cconstanteSpeed of light in vacuum — vitesse de la lumière = 299792458 metre per second
k_econstanteElectrostatic force constant in Coulomb's law — constante de Coulomb = 8.9875517923e9 newton metre squared per coulomb squared
f(r)=1-\frac{2gm}{c^2r}+\frac{gk_eq^2}{c^4r^2} · 2605.10587v1
$$t_{\text{ff}} \propto \frac{1}{\sqrt{G \rho}}$$
Free-fall time scales inversely with the square root of density.
Ce qu'il y a dans la formule
t_ffvariablefree-fall time — temps second
Gvariablegravitational constant — constante gravitationnelle cubic metre per kilogram per second squared
ρvariablemass density — masse volumique kilogram per cubic metre
t\propto\frac{1}{m} · 2512.15393
$$\mathcal{R} = 2\Lambda + 16\pi G \rho + \Theta^i_j \Theta^j_i - \Theta^2$$
Relates spatial curvature to density and velocity gradients.
Ce qu'il y a dans la formule
\mathcal{R}variableRicci scalar — ricci scalar per metre squared
\LambdavariableCosmological constant — constante cosmologique per metre squared
\rhovariableMass density — masse volumique kilogram per cubic metre
\Theta^i_jvariableExpansion tensor — expansion tensor per second
\ThetavariableExpansion scalar — expansion scalar per second
GconstanteNewton's constant of gravitation — constante gravitationnelle = 6.67430e-11 cubic metre per kilogram per second squared
\mathcal{r}=2\lambda+16πg\varrho+\theta^i_j\theta^j_i-\theta^2 · 2605.05454v1
$$ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right) c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2$$
Describes spacetime around a spherically symmetric mass.
Ce qu'il y a dans la formule
ds^2variablespacetime interval — intervalle d'espace-temps metre squared
dtvariablecoordinate time differential — time differential second
drvariableradial coordinate differential — radial coordinate differential metre
dΩ^2variablesolid angle element squared — élément d'angle solide au carré
rvariableradial coordinate — coordonnée radiale metre
tvariablecoordinate time — coordinate time second
GconstanteNewton's constant of universal gravitation — constante gravitationnelle = 6.67430e-11 cubic metre per kilogram per second squared
cconstantespeed of light in vacuum — vitesse de la lumière = 299792458 metre per second
Mconstantemass of the central object — masse kilogram
dopérateurinfinitesimal change — differential
ds^2=-(1-\frac{2me^{-w}}{r})c^2dt^2+(1-\frac{2me^{-w}}{r})^{-1}dr^2+r^2dω^2 · 2606.03414v1
$$G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$$
Spacetime curvature is proportional to the energy-momentum content.
Ce qu'il y a dans la formule
G_{\mu\nu}variableEinstein tensor, encodes spacetime curvature — einstein tensor metre per second squared
T_{\mu\nu}variableStress-energy tensor, encodes energy-momentum content — stress energy tensor joule per cubic metre
GconstanteUniversal constant of gravitation — constante gravitationnelle = 6.67430e-11 cubic metre per kilogram per second squared
cconstanteSpeed of light in vacuum — vitesse de la lumière = 299792458 metre per second
g_{μν}=\frac{8πg}{c^4}t_{μν} · 2607.03904

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