Euler's formula is a mathematical equation that establishes the deep relationship between trigonometric functions and the complex exponential function.En 1748, Leonhard Euler a publié une formule reliant l'algèbre, la géométrie et l'analyse : e^{iθ} = cos θ + i sin θ. Elle découle du développement en séries entières des fonctions. Euler a réalisé que l'exponentielle avec un exposant imaginaire se comporte comme un point parcourant un cercle — cela est devenu le lien entre l'algèbre et la géométrie. L'identité e^{iπ} + 1 = 0 a réuni dans une seule équation e, i, π, 1 et 0, et beaucoup la considèrent comme la plus belle en mathématiques. La formule d'Euler est devenue la base de l'analyse des oscillations, des ondes et des états quantiques.
Euler a déduit la formule en 1748 en développant e^x, sin x et cos x en séries de Taylor et en substituant ix. Cette découverte a jeté les bases de l'analyse complexe (Cauchy, Riemann). Dans les années 1920, Schrödinger l'a appliquée pour décrire les fonctions d'onde, reliant l'évolution temporelle à l'opérateur d'énergie via la dérivée de l'exponentielle.
En électrotechnique, le remplacement des grandeurs sinusoïdales par des exponentielles complexes transforme les équations différentielles en équations algébriques. En traitement du signal, la transformation de Fourier décompose les fonctions en une somme d'exponentielles à exposants imaginaires. Limites : la représentation est valable pour les fonctions analytiques ; dans les analyses non standard, l'exponentielle est définie de manière axiomatique. En théorie quantique des champs, les généralisations en dimension infinie nécessitent une régularisation.
La formule d'Euler permet aux ingénieurs d'analyser le courant alternatif dans les circuits et de créer des graphiques réalistes avec des objets en rotation, ainsi que de compresser des images en JPEG.
L'un des admirateurs de l'identité d'Euler était le physicien Richard Feynman, qui l'appelait « la formule la plus remarquable des mathématiques », et les sondages auprès des mathématiciens placent souvent e^{iπ} + 1 = 0 en première place pour sa beauté.
| f | variable | homogeneous function of degree n — homogeneous function |
| x | variable | independent variable — variable |
| n | variable | degree of homogeneity — degree |
| f'(x) | opérateur | derivative of f with respect to x — dérivée |
| α | variable | Scaling exponent (same as in power law) |
| K | variable | Luttinger parameter — luttinger parameter |