The Euler-Lagrange equation is the differential equation whose solutions extremize a given functional in calculus of variations.Au milieu du XVIIIe siècle, Leonhard Euler et Joseph-Louis Lagrange ont indépendamment dérivé une équation qui est devenue le cœur de la mécanique analytique. Ils ont montré que toute la mécanique newtonienne peut être réécrite dans le langage des énergies. L'idée clé : la trajectoire du système est une solution pour laquelle l'intégrale (valeur totale) du lagrangien dans le temps est extrémale (généralement minimale). C'est ce qu'on appelle le principe de moindre action. Analogie : la nature choisit le chemin le plus économique, tout comme l'eau s'écoule dans un lit sinueux en minimisant les pertes d'énergie.
Leonhard Euler, en 1744, en étudiant le problème de la brachistochrone (courbe de descente la plus rapide), est parvenu à une équation qui minimise l'intégrale d'une fonctionnelle. Près d'un demi-siècle plus tard, Joseph-Louis Lagrange, dans sa « Mécanique analytique » (1788), a utilisé le calcul des variations pour repenser toute la mécanique classique, en formulant les équations du mouvement à travers le lagrangien. Cela a permis de s'affranchir des forces et des accélérations, en les remplaçant par l'énergie et les coordonnées généralisées. Plus tard, William Rowan Hamilton a développé cette idée en principe de moindre action, et Carl Gustav Jacobi l'a reliée à l'optique.
L'équation est utilisée pour dériver les équations du mouvement dans les systèmes complexes : mécanismes à plusieurs corps, champs, particules relativistes. Limites de validité : elle est valable pour les systèmes où les forces peuvent être dérivées d'un potentiel (forces conservatives avec un potentiel généralisé) et où il n'y a pas de contraintes non holonomes. Elle devient inadaptée en présence de dissipation (frottement) ou lorsqu'on prend en compte les effets quantiques, où sa modification sous forme d'intégrales de chemin de Feynman est employée.
Elle est utilisée en robotique pour le calcul des mouvements des manipulateurs et en animation pour la simulation réaliste des tissus et des cheveux.
L'équation d'Euler-Lagrange fonctionne non seulement en mécanique, mais aussi en électrodynamique, en théorie des champs et même en économie — partout où il y a la notion de chemin optimal.
| f | variable | homogeneous function of degree n — homogeneous function |
| x | variable | independent variable — variable |
| n | variable | degree of homogeneity — degree |
| f'(x) | opérateur | derivative of f with respect to x — dérivée |
