fonction exponentielle — anatomie d'une formuleLa fonction exponentielle, souvent notée exp(x) ou e^x, est une fonction mathématique dont le taux de croissance est proportionnel à sa valeur actuelle. Elle est définie comme l'unique fonction qui est sa propre dérivée, avec la base e (environ 2,71828). Cette fonction apparaît dans toute la physique lorsqu'une quantité varie à un taux proportionnel à elle-même, comme la désintégration radioactive, la croissance d'une population ou le refroidissement d'un objet chaud.
La fonction exponentielle a été introduite par Leonhard Euler au XVIIIe siècle, qui a également établi la relation e^(iπ) + 1 = 0, la reliant à la trigonométrie et aux nombres complexes.
La fonction exponentielle peut être définie par la série infinie e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ..., qui converge pour tout x réel ou complexe. Sa propriété fondamentale, d/dx e^x = e^x, en fait la solution de l'équation différentielle dy/dx = ky, où k est une constante. Cette équation modélise les processus où le taux de variation est proportionnel à la quantité présente, conduisant à une croissance exponentielle (k>0) ou à une décroissance exponentielle (k<0).
Les fonctions exponentielles sont utilisées en physique pour décrire la désintégration radioactive, la décharge d'un condensateur, la pression atmosphérique en fonction de l'altitude, et l'évolution temporelle des états quantiques sous forme d'exponentielles complexes.
La fonction exponentielle est si importante qu'elle apparaît dans l'équation de Schrödinger, où l'évolution temporelle d'un état quantique est donnée par une exponentielle complexe du hamiltonien.
| f(x_i) | variable | model prediction at input x_i — valeur de fonction |
| y_i | variable | observed data point — data value |
| σ_i | variable | standard deviation of measurement error — écart type |
| ∏ | opérateur | Product over all data points i — opérateur produit |
| exp | opérateur | Exponential function — fonction exponentielle |
| N_i | variable | Number of particles in state i — nombre de particules |
| N | variable | Total number of particles — nombre de particules |
| g_i | variable | Degeneracy of state i — dégénérescence |
| E_i | variable | Energy of state i — énergie joule |
| T | variable | Absolute temperature — température kelvin |
| k | constante | Relates energy to temperature at the particle level — constante de Boltzmann = 1.380649e-23 joule per kelvin |
| e^{-E_i/kT} | opérateur | Exponential of the negative energy over kT — fonction exponentielle |
| x | variable | input point — input variable |
| x' | variable | another input point — input variable |
| σ | variable | signal amplitude — amplitude |
| ℓ | variable | length scale — length scale |
| exp | opérateur | raises e to the given power — fonction exponentielle |
| s | variable | sigmoid function value — sigmoid function |
| ζ | variable | input argument — argument |
| a | variable | steepness parameter — steepness parameter |
| exp | opérateur | raises e to the given power — fonction exponentielle |
| P(v) | variable | Probability density of speed v — probability density second per metre |
| v | variable | Speed of a particle — vitesse metre per second |
| σ | variable | Scale parameter related to temperature — speed scale metre per second |
| exp | opérateur | Exponential function — fonction exponentielle |
| √ | opérateur | Square root — racine carrée |