Город нарисован на листе бумаги. Улицы те же, перекрёстки на местах, но расстояния между кварталами вдруг изменились. Так выглядит трёхмерная чёрная дыра BTZ в модифицированной гравитации: метрика — карта города — осталась прежней, а вот космологическая постоянная, задающая масштаб, получила поправки.

BTZ-дыра — это решение уравнений Эйнштейна в пространстве-времени размерности 2+1 с отрицательной космологической постоянной. Она не имеет сингулярности кривизны в центре и потому служит идеальной «игрушечной» моделью для проверки теорий гравитации. Авторы взяли метрику вращающейся BTZ-дыры и подставили её в уравнения поля двух теорий: гравитации с обратным тензором Риччи (общий класс f(R, A, AμνAμν)) и f(R)-гравитации. Для первой пришлось вычислить обратный тензор Риччи — антитензор кривизны, его след и квадратичный инвариант. Результат: обе теории допускают BTZ-решение, но эффективная космологическая постоянная меняется.

Формула для эффективной космологической постоянной в гравитации с обратным тензором Риччи выглядит так:

\[\Lambda_m = \Lambda - 6\alpha_1 \Lambda^2 - 108\alpha_2 \Lambda^3 + \frac{5\beta_1}{4\Lambda} + \frac{15\beta_2}{8\Lambda^2} + \frac{7\gamma}{8\Lambda^2}.\]

Здесь Λ — исходная космологическая постоянная, а α₁, α₂, β₁, β₂, γ — константы связи. В пределе нулевых констант формула сводится к Λ, как и должно быть. В f(R)-гравитации поправки дают только члены с α₁ и α₂.

Затем авторы проинтегрировали уравнения геодезических — путей свободно падающих частиц — для трёх случаев: ненулевые масса и угловой момент, нулевые масса и момент, и случай M = −1, J = 0 (типа AdS₃). Решения выражены через гиперболические, экспоненциальные и тригонометрические функции. Эффективный потенциал, определяющий барьер для движения частицы, заметно меняется: при ненулевых константах связи барьер может исчезать или смещаться, что меняет условия захвата частиц.

Работа впервые проверяет выживание трёхмерной чёрной дыры в теории с обратным тензором Риччи. Раньше было неизвестно, остаётся ли BTZ-пространство решением в такой гравитации и как меняются геодезические. Теперь показано, что метрика является вакуумным решением в обеих теориях, но с модифицированной космологической постоянной; получены явные формулы для траекторий частиц. Приём прост: подставили известную метрику в новые уравнения поля, вычислили обратный тензор Риччи и проинтегрировали уравнения движения.

Для квантовой гравитации в 2+1 измерениях это важно: BTZ-дыра — ключевая модель для голографии, и её выживание в модифицированных теориях открывает путь к проверке соответствия AdS/CFT за пределами общей теории относительности. Результаты можно использовать для проверки модифицированных теорий гравитации в трёхмерных моделях и для построения голографических дуалов.

Карта города осталась прежней, но расстояния изменились. Теперь нужно понять, как это влияет на термодинамику чёрной дыры, её устойчивость и квантовые свойства.