أوركسترا تعزف بلا قائد، وتسمع أن الإيقاع يتسارع تارة ويتباطأ تارة. بين يديك تسجيل للصوت فقط، لا النوتة الموسيقية. هل يمكن من هذا التسجيل أن تعرف أي وتر يجب أن تلمسه ليعزف الأوركسترا كله بتناسق أكبر؟ هذه تقريبًا هي المسألة التي تواجه العلماء الذين يدرسون الأنظمة المعقدة: المناخ، الاضطراب، والإيقاعات البيولوجية. إنهم لا يرون سوى سلسلة زمنية من المشاهدات، أما المعادلات التي تتحكم في النظام فمخفية.

المنهج التقليدي كان يتطلب معرفة هذه المعادلات، لكن بالنسبة لمناخ حقيقي أو كائن حي لا يمكن كتابتها. لذلك يبني مؤلفو العمل نموذجًا تقريبيًا مباشرة من البيانات: باستخدام التنعيم النووي (kernel smoothing) يحوّلون مسار المشاهدات إلى سلسلة ماركوف منتهية تقرّب مؤثر كوبمان (وهو كائن رياضي يصف تطور دوال الحالة). إذا كانت المشاهدات غير كاملة، تُستخدم مهلة تاكنز (Takens delay)، التي تستعيد المتغيرات الخفية من كمية واحدة مقيسة، كما يُستدل على شكل الجسم من ظله على الجدار.

بعد ذلك تُصاغ مسألة تحسين: إيجاد مصفوفة اضطراب بمجاميع صفوف صفرية وقيود على الانتقالات المسموحة، تعظّم مشتقة معامل أو سعة القيمة الذاتية المختارة. الحل يُعطى بصيغة صريحة عبر المتجهات الذاتية اليسرى واليمنى. للتوضيح، يُبنى حقل متجهي للاستجابة المثلى: يبيّن الاتجاه الذي يجب أن نؤثر فيه في كل نقطة من فضاء المشاهدات.

في مثال دوران دائرة غير منتظم، اتضح أن الاضطراب الأمثل لتسريع الدورة مماس للمسار ويتناسب عكسيًا مع السرعة الحالية: حيث تكون الحركة بطيئة، يجب أن تكون الدفعة أقوى. وفي نظام لورنز، يكون الاضطراب الذي يسرّع الدوران حول الجناحين عموديًا على خطوط تساوي طور المتجه الذاتي المركب، وليس في اتجاه التدفق. وفي المثال المناخي لإل نينيو، يسبق الاضطراب الأمثل لزيادة التردد الدورة بربع دورة، أما لتقوية الارتباطات فهو متزامن معها. كما اكتُشفت علاقة بطور ثنائي قطب المحيط الهندي: IOD سالب أثناء تراكم إل نينيو وموجب عند لا نينيا.

سابقًا كان من غير الواضح كيف نجد أفضل تأثير صغير على نظام لاخطي إذا كانت معطيات المشاهدات فقط متاحة ومعادلات الديناميكا غير معروفة. الآن يمكن حساب الاضطراب الأمثل الذي يغيّر إلى أقصى حد تردد أو استقرار الدورات شبه الدورية والمجموعات شبه الثابتة، مباشرة من السلسلة الزمنية. يمكن للطريقة أن تُستخدم في علم المناخ لتقييم تأثير العوامل الخارجية على إل نينيو، وفي التحكم في الأنظمة الفوضوية حيث تكون التجارب مستحيلة أو مكلفة جدًا.

وبالعودة إلى الأوركسترا: الآن يمكن من التسجيل وحده أن نقول أي آلة وفي أي لحظة يجب أن تُدفع ليستقيم الإيقاع. ومع أن القائد الحقيقي ما زال لازمًا للتأويل، فإن الرياضيات تضع في يده خريطة دقيقة للتأثيرات الممكنة.