A modular form is a complex analytic function that transforms in a specific way under the action of a discrete group.الشكل النمطي دالة هولومورفية على نصف المستوى العقدي العلوي، تحقق معادلة دالية f((az+b)/(cz+d)) = (cz+d)^k f(z) لكل المصفوفات من الزمرة النمطية SL(2,Z) وتمتلك شروط نمو معينة. الوزن k عدد صحيح. تشكل الأشكال النمطية فضاءات متجهية منتهية الأبعاد، وتحمل متسلسلات فورييه الخاصة بها معلومات حسابية عميقة.
تعود أصول نظرية الأشكال النمطية إلى أعمال غاوس وأيزنشتاين، لكن الدراسة المنهجية بدأت في أواخر القرن التاسع عشر مع بوانكاريه الذي أدخل المفهوم العام للأشكال الأوتومورفية. فيليكس كلاين درس الدوال النمطية وعلاقتها بالعشريني الأوجه. في القرن العشرين، طور هيكه نظرية المؤثرات، واكتشف رامانوجان خواصًا عميقة لدالة τ، ولاحقًا قادت حدسية تانياما-شيمورا حول نمطية المنحنيات الإهليلجية إلى إثبات أندرو وايلز لمبرهنة فيرما الأخيرة. التطور المعاصر يشمل برنامج لانغلاندز ونمطية جميع المنحنيات الإهليلجية فوق ℚ.
الشكل النمطي هو مقطع من حزمة خطية معينة على المنحني النمطي. تضمن المعادلة الدالية تحول الدالة بشكل جيد تحت تأثير الزمرة النمطية، وتعني الهولومورفية وشرط النمو النعومة والتناهي في القمم. تسمح متسلسلات فورييه بالتعبير عن الشكل عبر معاملات a_n التي تحمل غالبًا معنى حسابيًا (مثلاً عدد النقاط على منحنى إهليلجي فوق حقل منتهٍ). تتحقق الصلة بالمنحنيات الإهليلجية عبر النمطية: يقابل كل منحنى إهليلجي شكل نمطي تتطابق معه متسلسلات- L الخاصة. يستخدم هذا في إثبات مبرهنة فيرما. وتولد الأشكال النمطية أيضًا تمثيلات الزمرة GL(2) على الإديليات.
إثبات مبرهنة فيرما الأخيرة، رموز تصحيح الأخطاء، أساس لنظرية الأوتار والثوابت الكمومية.
دالة زيتا لريمان، الدالة الغامضة المتعلقة بتوزع الأعداد الأولية، ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالأشكال النمطية عبر شكل نمطي يسمى دالة ثيتا.
| x | متغير | Sequence in normed space — sequence |
| \lambda | متغير | Scaling parameter — scaling parameter |
| n | متغير | Index of sequence element — index |
| \inf | مؤثر | Takes the greatest lower bound of a set — infimum |
| \sum_{n=1}^\infty | مؤثر | Adds terms of a sequence — series summation |
| f | متغير | scalar function value — قيمة دالة |
| x | متغير | input vector — vector argument |
| Q | متغير | quadratic coefficient matrix — quadratic coefficient matrix |
| b | متغير | linear coefficient vector — linear coefficient vector |
| c | متغير | constant term — constant term |
| T | مؤثر | flips a matrix or vector over its diagonal — transpose operator |
| s | متغير | Complex argument of the L-function |
| n | متغير | Summation index (positive integer) |
| χ | متغير | Dirichlet character modulo some integer |
| ∑ | مؤثر | Sum over positive integers — جمع |
| Y | متغير | observed response — response variable |
| X | متغير | input features — feature vector |
| f | متغير | true underlying function — function |
| ε | متغير | noise term — noise |
| D | متغير | monotonic transformation function — monotonic function |
