El agua puede ser hielo, líquido o vapor. Los físicos llaman a estos estados fases. En teoría, cada fase tiene su propia medida, una forma de describir cuán probable es. Pero no toda medida que se pueda imaginar se encuentra en la naturaleza. Algunas fases son reales, mientras que otras son solo una ilusión matemática.
Los científicos han encontrado un criterio simple que separa la realidad del espejismo. Tomemos un sistema que puede estar en diferentes estados y observemos su entropía, la medida del desorden. Si la entropía cambia suavemente, sin saltos, al pasar de un estado a otro, entonces ese estado es una fase real. Si la entropía salta, esa fase no puede existir en equilibrio. Se esconde detrás de la envolvente convexa de la energía libre, como un espejismo tras el horizonte.
Este criterio funciona no solo para sistemas habituales, sino también para sistemas muy generales, como los desplazamientos de Markov, que describen caminatas aleatorias. Resulta que la formulación anterior, propuesta en 2006, era incompleta. Los autores encontraron un contraejemplo y refinaron la condición: una fase es real si la entropía es continua en cada punto del conjunto de estados de equilibrio.
Ahora los físicos pueden saber de antemano qué fases vale la pena buscar en un experimento y cuáles son solo fantasmas matemáticos. Esto ayuda a no perder tiempo persiguiendo espejismos.
tal como lo escribieron los autores, en inglés arXiv:2604.10225
In the variational approach to statistical mechanics, equilibrium states are the rigorous analogues of thermodynamic phases; the question of which invariant measures can arise as equilibrium states is therefore the question of which phases are thermodynamically realizable. We prove that for continuous actions of locally compact amenable groups on compact metrizable spaces with finite topological entropy, an ergodic measure $$\mu$$ is an equilibrium state for some continuous potential if and only if the entropy map $$h$$ is upper semicontinuous at $$\mu$$; equivalently, the unrealizable phases are exactly those hidden behind the convex envelope of the free energy. More generally, the same criterion applies whenever $$(X, T)$$ has bounded entropy and embeds as an invariant subsystem of a compact metrizable system. As a canonical case, one-point compactification yields a $$C_0$$-potential realization theorem for locally compact $$\sigma$$-compact systems, with applications to countable-state Markov shifts. We also show that the equilibrium-face realization stated by Jenkinson (2006) omits a necessary continuity hypothesis, exhibiting a counterexample on the full shift, and give the sharp corrected statement: a weak-$$*$$ closed set $$\mathcal{E}$$ of ergodic measures determines an equilibrium face if and only if $$h|_{\mathcal{E}}$$ is continuous and $$h$$ is upper semicontinuous at each point of $$\mathcal{E}$$.
El concepto de fase proviene de la cocina: agua, hielo y vapor son tres fases de la misma sustancia. Pero en mecánica estadística hay muchas más fases, y algunas de ellas no se pueden ver en la vida cotidiana.