En 1935, Einstein, Podolsky et Rosen ont proposé une expérience de pensée qui, selon eux, révélait l'incomplétude de la mécanique quantique. Deux particules s'éloignent après une interaction, et la mesure de l'impulsion de l'une donne instantanément une connaissance exacte de l'impulsion de l'autre. Il semblerait que l'on puisse aussi connaître la position de la seconde particule sans la perturber, contournant ainsi le principe d'incertitude de Heisenberg. Le paradoxe EPR a servi pendant des décennies de pierre de touche pour les interprétations de la théorie quantique.

La résolution du paradoxe se cache dans la logique de la prédiction. La prédiction de l'impulsion de la seconde particule après la mesure de l'impulsion totale n'est pas un nombre, mais une fonction à valeurs opérateurs : sa valeur pour chaque résultat de mesure est elle-même un opérateur, et non une grandeur ordinaire. Cette espérance conditionnelle quantique, introduite dans l'article, tient compte avec soin du fait que la mesure d'une observable ne transforme pas l'autre en variable classique. C'est comme l'ombre de la valeur mesurée : elle en épouse la forme, mais vit dans le monde quantique des opérateurs.

L'auteur compare deux approches : l'espérance conditionnelle quantique et l'état post-mesure de von Neumann. La seconde méthode consiste à projeter l'état initial sur le sous-espace correspondant à la valeur mesurée, puis à normaliser le résultat. Dans la limite où l'intervalle de précision de la mesure tend vers zéro, les deux approches donnent la même prédiction. Pour un état intriqué gaussien dans la représentation impulsionnelle, la moyenne conditionnelle et la variance se calculent analytiquement, et la prédiction de l'impulsion de la seconde particule s'avère égale à p − p1 avec probabilité 1. Ici, p est l'impulsion totale mesurée, p1 est l'impulsion de la première particule.

Lorsque l'on mesure précisément l'ensemble des observables du système, la nature statistique du système disparaît : la densité de probabilité devient une fonction delta au point d'observation. Cependant, une telle limite ne correspond à aucun vecteur d'état dans l'espace de Hilbert. Pour une précision de mesure finie, la relation d'incertitude de Heisenberg est satisfaite : le produit des incertitudes sur la position et l'impulsion de la seconde particule n'est pas inférieur à ħ/2. Le paradoxe EPR est résolu non par une astuce, mais par un schéma probabiliste rigoureux qui montre que la connaissance exacte de l'impulsion d'une particule ne donne pas la connaissance exacte de la position de l'autre.

L'article clarifie la structure logique de la mécanique quantique. Il montre que le paradoxe EPR provient de l'ignorance de la nature opérateur des espérances conditionnelles. Aucune application pratique n'est encore en vue, mais le résultat est important pour l'interprétation des mesures dans les systèmes intriqués et pour la théorie de l'information quantique. À l'avenir, une généralisation à des observables plus complexes et à des mesures imprécises est possible, ainsi que l'application des espérances conditionnelles quantiques à des problèmes d'estimation de paramètres quantiques et de contrôle quantique.