L'eau peut être de la glace, du liquide ou de la vapeur. Les physiciens appellent ces états des phases. En théorie, chaque phase a sa propre mesure — une façon de décrire à quel point elle est probable. Mais toute mesure que l'on peut imaginer ne se rencontre pas dans la nature. Certaines phases sont réelles, d'autres ne sont qu'une illusion mathématique.
Les scientifiques ont trouvé un critère simple qui sépare la réalité du mirage. Prenons un système qui peut se trouver dans différents états et observons son entropie — la mesure du désordre. Si l'entropie change de manière lisse, sans sauts, lorsque l'on passe d'un état à un autre, alors cet état est une vraie phase. Si l'entropie saute, cette phase ne peut pas exister à l'équilibre. Elle se cache derrière l'enveloppe convexe de l'énergie libre, comme un mirage derrière l'horizon.
Ce critère ne fonctionne pas seulement pour les systèmes familiers, mais aussi pour des systèmes très généraux — par exemple, les décalages de Markov, qui décrivent des marches aléatoires. Il s'est avéré que la formulation précédente, proposée en 2006, était incomplète. Les auteurs ont trouvé un contre-exemple et ont précisé la condition : une phase est réelle si l'entropie est continue en chaque point de l'ensemble des états d'équilibre.
Désormais, les physiciens peuvent dire à l'avance quelles phases il vaut la peine de chercher en laboratoire, et lesquelles ne sont que des fantômes mathématiques. Cela évite de perdre du temps à courir après des mirages.
tel que rédigé par les auteurs, en anglais arXiv:2604.10225
In the variational approach to statistical mechanics, equilibrium states are the rigorous analogues of thermodynamic phases; the question of which invariant measures can arise as equilibrium states is therefore the question of which phases are thermodynamically realizable. We prove that for continuous actions of locally compact amenable groups on compact metrizable spaces with finite topological entropy, an ergodic measure $$\mu$$ is an equilibrium state for some continuous potential if and only if the entropy map $$h$$ is upper semicontinuous at $$\mu$$; equivalently, the unrealizable phases are exactly those hidden behind the convex envelope of the free energy. More generally, the same criterion applies whenever $$(X, T)$$ has bounded entropy and embeds as an invariant subsystem of a compact metrizable system. As a canonical case, one-point compactification yields a $$C_0$$-potential realization theorem for locally compact $$\sigma$$-compact systems, with applications to countable-state Markov shifts. We also show that the equilibrium-face realization stated by Jenkinson (2006) omits a necessary continuity hypothesis, exhibiting a counterexample on the full shift, and give the sharp corrected statement: a weak-$$*$$ closed set $$\mathcal{E}$$ of ergodic measures determines an equilibrium face if and only if $$h|_{\mathcal{E}}$$ is continuous and $$h$$ is upper semicontinuous at each point of $$\mathcal{E}$$.
Le concept de phase vient de la cuisine : l'eau, la glace et la vapeur sont trois phases d'une même substance. Mais en mécanique statistique, il existe bien plus de phases, et certaines sont impossibles à observer dans la vie courante.