Chaque système quantique — que ce soit un atome, un cristal ou l'Univers entier — possède son propre ensemble d'énergies autorisées, comme les marches d'un escalier. Plus le système est chaud, plus les particules grimpent volontiers les marches. Des physiciens ont imaginé comment comparer deux tels « escaliers » issus de théories différentes : ils ont introduit la distance de Boltzmann–Wasserstein — un nombre qui montre à quel point les spectres d'énergie de deux mondes diffèrent.
Pour calculer cette distance, il faut trouver un pont particulier entre deux ensembles d'énergies — un trou de ver dans l'espace double. Deux feuilles de papier avec des escaliers dessinés : le trou de ver est une façon de superposer les feuilles de sorte que les marches d'un escalier s'alignent sur celles de l'autre de la manière la plus économique. Il s'avère que la meilleure façon est simplement de classer les énergies par ordre croissant et de les relier par paires, comme si l'on triait deux jeux de cartes par ordre de valeur. Dans le langage de la gravité, un tel trou de ver ressemble à deux trous noirs reliés par une gorge, à travers laquelle on peut passer d'une théorie à l'autre.
Lorsque deux théories ne diffèrent que par une petite perturbation — par exemple, on ajoute une interaction faible — la distance se réduit à la moyenne temporelle de l'agitation thermique de cette perturbation. Si la perturbation est en moyenne nulle (disons qu'elle change de signe par réflexion), alors une caractéristique plus subtile prend le devant de la scène : la fonction à quatre points, une sorte de corrélation des agitations à différents instants. Cela rappelle la mesure non pas du simple volume du bruit, mais de sa « rugosité ».
Une telle approche relie de manière inattendue des domaines apparemment éloignés : la théorie du transport optimal (comment transporter une cargaison à moindre coût), la physique des trous noirs et la mécanique quantique. Elle offre un nouvel outil pour comparer quantitativement différentes théories quantiques et pourrait éclairer la manière dont la gravité émerge des effets quantiques.
La distance de Wasserstein, qui est à la base de ce travail, a été initialement conçue pour résoudre des problèmes bien terrestres : comment déplacer de manière optimale un tas de sable vers un trou de même forme, mais ailleurs. En physique, elle est devenue une mesure de similarité entre états quantiques.
Dans le roman de Greg Egan « La Cité des permutants », différents univers avec différentes lois physiques sont reliés par des trous de ver — la nouvelle métrique pourrait mesurer à quel point ils sont différents.