Un point d'une fonction où la pente est nulle mais qui n'est pas un extrémum local.Un point de selle est un point d'une surface ou d'une fonction où le gradient (la pente) est nul, mais qui n'est ni un maximum ni un minimum local. En deux dimensions, il ressemble à un col de montagne : la surface s'élève dans une direction et s'abaisse dans une autre, évoquant une selle de cheval. En dimensions supérieures, les points de selle sont plus fréquents que les extrémums et jouent un rôle crucial en optimisation, en physique et en théorie des jeux.
Le concept a été formalisé au XIXe siècle par des mathématiciens comme Joseph-Louis Lagrange et Carl Friedrich Gauss, qui ont étudié les surfaces et les points critiques. Le terme « point de selle » est devenu standard au début du XXe siècle.
Mathématiquement, en un point de selle, toutes les dérivées partielles sont nulles, mais le test de la dérivée seconde est non concluant : la matrice hessienne possède à la fois des valeurs propres positives et négatives. Cela signifie que se déplacer dans une direction augmente la fonction, tandis que se déplacer dans une autre la diminue. Dans les algorithmes d'optimisation, les points de selle posent problème car la descente de gradient peut s'y bloquer, les prenant pour des minima. En physique, les points de selle apparaissent dans les paysages d'énergie potentielle, où ils correspondent à des états d'équilibre instable, comme le sommet d'une barrière entre deux configurations stables.
Les points de selle sont au cœur de l'apprentissage automatique, où l'entraînement des réseaux de neurones implique de naviguer dans des paysages de perte de haute dimension parsemés de points de selle. En physique, ils sont utilisés dans la théorie de l'état de transition pour calculer les vitesses de réaction.
Dans un jeu d'échecs, le théorème du minimax garantit que tout jeu fini à somme nulle à deux joueurs possède un point de selle en stratégies mixtes, ce qui signifie qu'il existe une valeur que les deux joueurs peuvent atteindre avec un jeu optimal.


