On jette une poignée de phosphore dans du silicium — et à une certaine concentration d'impuretés, le matériau se met soudain à conduire le courant. C'est une transition de phase métal-isolant, et elle se produit par saut. Mais qu'est-ce qui change exactement dans les fonctions d'onde des électrons lorsqu'un isolant devient métal ? La réponse peut être extraite de la manière dont la matière absorbe la lumière.

Les auteurs de l'étude ont pris la conductivité optique — à quel point un champ électrique alternatif fait osciller les charges — et ont calculé son premier moment négatif. Cette grandeur, tel un dynamomètre sensible, mesure la géométrie quantique : à quel point les fonctions d'onde locales des électrons sont « étalées ». On obtient une longueur ℓ — la taille caractéristique de la région où l'électron reste encore lui-même. Loin de la transition, lorsque les atomes donneurs de phosphore sont isolés, ℓ est presque exactement égale au rayon de Bohr. Cela fait environ 2 nanomètres, comme pour un atome d'hydrogène isolé.

À mesure que l'on s'approche de la concentration critique d'impuretés, la longueur ℓ augmente. Mais au lieu d'une augmentation progressive, comme pour la longueur de corrélation (la distance typique sur laquelle les fluctuations s'atténuent), elle fait un bond : exactement au point de transition, elle diverge vers l'infini. Cela signifie que les états électroniques se délocalisent soudainement sur tout l'échantillon. Ce saut est une conséquence du fait que, dans le cas tridimensionnel, la contribution principale à la somme provient des processus ultraviolets, c'est-à-dire très rapides, et non des fluctuations critiques lentes. La géométrie quantique se révèle « myope » aux danses lentes des charges près de la transition.

Ce résultat ne fournit pas seulement une nouvelle sonde expérimentale pour la géométrie quantique dans les systèmes désordonnés, mais il éclaire également le critère centenaire de Herzfeld : lorsque la polarisabilité des atomes (la capacité du nuage électronique à se déformer) atteint une valeur critique, la matière doit devenir métallique. La correction de géométrie quantique à l'équation de Clausius-Mossotti, qui décrit la réponse diélectrique, la rend plus précise — comme si une vieille recette recevait enfin l'épice qui lui manquait. Il s'avère que le « gonflement » de la polarisabilité des donneurs, provoqué par la géométrie quantique, conduit à la divergence de la permittivité diélectrique, et avec elle, à la naissance du métal.