Dans le monde des matériaux bidimensionnels naissent parfois des états aussi étranges que fragiles. L'un d'eux, le cristal de Hall anormal fractionnaire (FAHC), est tel un centaure quantique : à moitié réseau ordonné, à moitié liquide topologique. Son existence est longtemps restée hypothétique, jusqu'à ce que des expériences sur le graphène multicouche révèlent un effet Hall quantique fractionnaire en l'absence de champ magnétique — un effet découvert par Klaus von Klitzing. Pour comprendre comment cela est possible, des physiciens de Harvard ont évoqué l'image d'une danse figée d'électrons au bord d'un « chapeau mexicain » — cette courbe de dispersion qui ressemble à un sombrero.

La dispersion dans le graphène rhomboédrique est subtile : l'énergie minimale ne se trouve pas au centre de la zone de Brillouin, mais sur un anneau de rayon fini. C'est comme une piste de danse où les meilleures places ne sont pas au milieu, mais en cercle. Les électrons, tels des danseurs, cherchent à occuper ces positions sur le pourtour, mais la puissante interaction coulombienne les contraint à s'aligner en un réseau périodique rigide — semblable à celui prédit par Eugene Wigner. Le ballet quantique commence lorsque la fonction d'onde du système prend la forme d'un produit d'un liquide de Hall quantique fractionnaire et d'un réseau de vortex d'Abrikosov. C'est une sorte de superposition d'ordre topologique et d'ordre cristallin. C'est précisément cet hybride que l'on appelle FAHC.

Le faible potentiel périodique du substrat de nitrure de bore hexagonal joue le rôle d'un chuchotement à peine audible du chorégraphe. Il ne crée pas la danse de toutes pièces, mais il indique quand faire le pas suivant : si le pas du réseau coïncide avec le potentiel, l'énergie chute brusquement. Ainsi naît l'effet de « verrouillage » : la densité électronique se trouve liée au produit du facteur de remplissage et du carré de l'impulsion du minimum de dispersion ($n_e$ ∼ ν q_⋆²). Pour ν=1/3, par exemple, la densité optimale est d'environ 0.38×10¹² cm⁻², ce qui concorde avec les expériences. L'approche théorique, qui s'appuie sur l'analogie avec les niveaux de Lev Landau et combine des méthodes de théorie quantique des champs avec la simulation de Monte-Carlo variationnelle, a montré que les FAHC résistent à la concurrence du liquide de Fermi ordinaire. Avec des paramètres bien choisis, ils gagnent même en énergie, malgré le fait que la supraconductivité pourrait être une alternative.

L'avenir de ces recherches s'étend bien au-delà du graphène. La danse quantique sur le sombrero promet de nouveaux modes collectifs — un hybride de phonons du réseau et de magnétorotons, accessible aux sondes spectroscopiques. Et si l'on considère que de tels cristaux supportent des excitations anioniques — ces « éclats » quantiques portent une charge fractionnaire, comme l'écho d'un électron entier divisé entre les danseurs — alors nous sommes au seuil de qubits topologiques, protégés du bruit par la géométrie même du monde quantique. À venir : l'affinement des diagrammes de phases à l'aide d'états quantiques neuronaux et la recherche de phases analogues dans les dichalcogénures de métaux de transition torsadés. Il s'avère que pour assembler un cristal parfait, il faut bien orchestrer la danse quantique, et la thermodynamique quantique des processus hors équilibre nous indiquera comment ne pas le faire fondre.