dérivée partielle — anatomie d'une formuleUne dérivée partielle mesure comment une fonction change lorsque l'on ne fait varier qu'une seule de ses multiples variables, toutes les autres étant maintenues constantes. C'est une pierre angulaire du calcul différentiel à plusieurs variables, et elle apparaît partout en physique, de la thermodynamique (où pression, volume et température sont interdépendants) aux théories des champs (où les champs dépendent de l'espace et du temps). La notation ∂f/∂x désigne la dérivée partielle de f par rapport à x.
Le concept a été développé au XVIIIe siècle par des mathématiciens comme Leonhard Euler et Joseph-Louis Lagrange, qui ont étendu le calcul différentiel aux fonctions de plusieurs variables. La notation moderne ∂ a été introduite par le marquis de Condorcet en 1770 et popularisée par Carl Gustav Jacob Jacobi au XIXe siècle.
Pour calculer une dérivée partielle, on traite toutes les variables sauf celle qui nous intéresse comme des constantes et on différencie comme en calcul ordinaire. Par exemple, si f(x, y) = x²y + sin(y), alors ∂f/∂x = 2xy, et ∂f/∂y = x² + cos(y). Les dérivées partielles servent à construire les gradients, les divergences et les rotationsnels en analyse vectorielle, et elles apparaissent dans des équations différentielles comme l'équation d'onde et l'équation de Schrödinger.
Les dérivées partielles sont utilisées en optimisation (par exemple, la descente de gradient en apprentissage automatique), pour résoudre des équations aux dérivées partielles en dynamique des fluides et en électromagnétisme, et dans l'analyse de propagation des erreurs en physique expérimentale.
En thermodynamique, les quatre relations de Maxwell sont dérivées de l'égalité des dérivées partielles croisées, reliant des grandeurs comme la température, la pression, l'entropie et le volume.
| c_s | variable | sound speed — sound speed metre per second |
| P | variable | pressure of the scalar field — pression pascal |
| X | variable | kinetic term, -1/2 (∂φ)^2 — kinetic energy density joule per cubic metre |
| P_X | variable | partial derivative of P with respect to X — dérivée partielle |
| P_XX | variable | second partial derivative of P with respect to X — second partial derivative |
| v | variable | null coordinate (e.g., advanced time) — null coordinate metre |
| r | variable | radial coordinate — coordonnée radiale metre |
| ∂_v | opérateur | differentiates with respect to the null coordinate — dérivée partielle |
| P | variable | Probability density — probability density per metre cubed |
| \Psi | variable | Wave function — fonction d'onde per metre cubed half |
| \Psi^* | variable | Complex conjugate of wave function — wave function conjugate per metre cubed half |
| t | variable | Time — temps second |
| \frac{\partial}{\par | opérateur | Partial derivative with respect to time — dérivée partielle |
| ψ | variable | wave function of the quantum particle — fonction d'onde metre to the minus 3 over 2 |
| t | variable | time — temps second |
| V | variable | potential energy (here self-gravitating) — énergie potentielle joule |
| m | variable | mass of the particle — masse kilogram |
| ħ | constante | Reduced Planck constant, fundamental quantum of action — constante de Planck réduite = 1.054571817e-34 joule second |
| ∂/∂t | opérateur | partial derivative with respect to time — dérivée partielle |
| ∇² | opérateur | Laplacian (spatial second derivative) — laplacian operator |
| β_ρ | variable | beta function for ρ joule per cubic metre |
| M | variable | renormalization scale — énergie joule |
| ρ | variable | running parameter joule per cubic metre |
| ∂/∂M | opérateur | partial derivative with respect to scale M — dérivée partielle |
| ΔT | variable | temperature change — température kelvin |
| T | variable | absolute temperature — température kelvin |
| C_p | variable | heat capacity at constant pressure — capacité thermique joule per kelvin |
| S | variable | entropy — entropie joule per kelvin |
| ΔP | variable | pressure change — pression pascal |
| ∂/∂P | opérateur | partial derivative with respect to pressure at constant temperature — dérivée partielle |