La constante fondamentale ħ, égale à la constante de Planck divisée par 2π, centrale en mécanique quantique.La constante de Planck réduite, notée ħ (h-barre), est la constante de Planck h divisée par 2π. Elle constitue l'unité fondamentale d'action en mécanique quantique, fixant l'échelle à laquelle les effets quantiques deviennent prédominants. Tandis que la constante de Planck apparaît dans la relation énergie–fréquence E = hν, la forme réduite émerge naturellement dans le moment cinétique, la mécanique ondulatoire et l'équation de Schrödinger, où les phases avancent de 2π par longueur d'onde.
Introduite par Paul Dirac dans ses articles de 1926 sur la mécanique quantique, qui l'a notée h/2π afin de simplifier les équations en éliminant le facteur 2π récurrent.
En mécanique quantique, ħ quantifie le moment cinétique : le moment cinétique de tout système est un multiple entier ou demi-entier de ħ. Il apparaît également dans le principe d'incertitude Δx·Δp ≥ ħ/2, et dans la relation de de Broglie p = ħk, où k est le nombre d'onde. Le facteur 2π provient du fait qu'un cycle complet d'une onde correspond à 2π radians, faisant de ħ l'unité naturelle pour le volume de l'espace des phases.
Utilisée dans tous les calculs de mécanique quantique, des niveaux d'énergie atomiques et de la physique des semi-conducteurs à l'informatique quantique et au modèle standard de la physique des particules.
La valeur de ħ est d'environ 1,0545718 × 10⁻³⁴ joules-secondes, si petite qu'un objet macroscopique comme une balle de baseball possède un moment cinétique d'environ 10³⁴ ħ.
| E_n | variable | Energy of the nth level — énergie joule |
| n | variable | Quantum number (non-negative integer) — nombre quantique |
| \hbar | constante | Reduced Planck constant — constante de Planck réduite = 1.054571817e-34 joule second |
| \omega | constante | Angular frequency of the oscillator — fréquence angulaire radian per second |
| \Delta x | variable | Standard deviation of position — incertitude de position metre |
| \Delta p | variable | Standard deviation of momentum — momentum uncertainty kilogram metre per second |
| \hbar | constante | Reduced Planck constant — constante de Planck réduite = 1.054571817e-34 joule second |
| T | variable | tunneling probability — transmission probability |
| z1 | variable | left turning point of the barrier — position metre |
| z2 | variable | right turning point of the barrier — position metre |
| m | variable | mass of the tunneling particle — masse kilogram |
| V | variable | potential energy as a function of position — énergie potentielle joule |
| E | variable | energy of the particle — énergie joule |
| ħ | constante | fundamental quantum of action divided by 2π — constante de Planck réduite = 1.054571817e-34 joule second |
| ∫ | opérateur | sums the integrand over the interval — intégrale |
| √ | opérateur | takes the non-negative root — racine carrée |
| exp | opérateur | raises e to the given power — exponential |
| ρ | variable | density matrix of the open quantum system — matrice de densité |
| t | variable | time — temps second |
| H | variable | Hamiltonian of the system — hamiltonien joule |
| L_n | variable | Lindblad operators (jump operators) for each dissipation channel — lindblad operator |
| i | constante | imaginary unit, square root of -1 — unité imaginaire = 1 |
| ħ | constante | Planck constant divided by 2π — constante de Planck réduite = 1.054571817e-34 joule second |
| d/dt | opérateur | derivative with respect to time — dérivée temporelle |
| [H, ρ] | opérateur | commutator of H and ρ — commutateur |
| {L_n† L_n, ρ} | opérateur | anticommutator of L_n† L_n and ρ — anticommutator |
| ∑_n | opérateur | sum over all dissipation channels — sum over channels |
| P | variable | Detection probability of a particle — probabilité |
| M | variable | Mass of the particle — masse kilogram |
| a | variable | Proper acceleration of the detector — acceleration metre per second squared |
| c | constante | Speed of light in vacuum — vitesse de la lumière = 299792458 metre per second |
| ħ | constante | Reduced Planck constant — constante de Planck réduite = 1.054571817e-34 joule second |
| ψ | variable | Quantum wave function — fonction d'onde metre to the minus 3 over 2 |
| R | variable | Real amplitude of the wave function — probability amplitude metre to the minus 3 over 2 |
| S | variable | Phase of the wave function (action) — action joule second |
| ℏ | constante | Fundamental constant setting the scale of quantum phenomena — constante de Planck réduite = 1.054571817e-34 joule second |
| e^{iS/ℏ} | opérateur | Complex phase factor encoding the oscillatory behaviour — complex exponential |
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